2009年四川省高考数学试卷（理科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）设集合S={x||x|＜5}，T={x|x²+4x﹣21＜0}，则S∩T=（　　）

A．{x|﹣7＜x＜﹣5}B．{x|3＜x＜5} 

C．{x|﹣5＜x＜3} D．{x|﹣7＜x＜5} 

2．（5分）已知函数连续，则常数a的值是（　　）

A．2B．3 C．4 D．5 

3．（5分）复数的值是（　　）

A．﹣1B．1 C．﹣i D．i 

4．（5分）已知函数f（x）=﹣sin（x+），（x∈R），下面结论错误的是（　　）

A．函数f（x）的最小正周期为2π

B．函数f（x）在区间[0，]上是增函数

C．函数f（x）的图象关于直线x=0对称

D．函数f（x）是奇函数

5．（5分）如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（　　）

A．PB⊥AD

B．平面PAB⊥平面PBC

C．直线BC∥平面PAE

D．直线PD与平面ABC所成的角为45°

6．（5分）已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 

C．充要条件D．既不充分也不必要条件 

7．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别是F₁、F₂，其一条渐近线方程为y=x，点在双曲线上、则•=（　　）

A．﹣12B．﹣2 C．0 D．4 

8．（5分）如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90°，BA=BC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是（　　）

A．B．π C． D．2π 

9．（5分）已知直线l₁：4x﹣3y+6=0和直线l₂：x=﹣1，抛物线y²=4x上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值是（　　）

A．B．2 C． D．3 

10．（5分）某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（　　）

A．12万元B．20万元 C．25万元 D．27万元 

11．（5分）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（　　）

A．60B．48 C．42 D．36 

12．（5分）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则的值是（　　）

A．0B． C．1 D． 

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13．（4分）的展开式的常数项是　   　（用数字作答）

14．（4分）若⊙O₁：x²+y²=5与⊙O₂：（x﹣m）²+y²=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是　   　．

15．（4分）如图所示，已知正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的各条棱长都相等，M是侧棱CC₁的中点，则异面直线AB₁和BM所成的角的大小是　   　．

16．（4分）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射，记的象为．若映射f：V→V满足：对所有及任意实数λ，μ都有，则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：

①设f是平面M上的线性变换，则

②对设，则f是平面M上的线性变换；

③若是平面M上的单位向量，对设，则f是平面M上的线性变换；

④设f是平面M上的线性变换，，若共线，则也共线．

其中真命题是　   　（写出所有真命题的序号）

三、解答题（共6小题，满分74分）

17．（12分）在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2A=，sinB=．

（1）求A+B的值；

（2）若a﹣b=﹣1，求a、b、c的值．

18．（12分）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡．

（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；

（Ⅱ）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

19．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°

（I）求证：EF⊥平面BCE；

（Ⅱ）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥平面BCE；

（Ⅲ）求二面角F﹣BD﹣A的大小．

20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率，右准线方程为x=2．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点F₁的直线l与该椭圆交于M、N两点，且，求直线l的方程．

21．（12分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log_a（1﹣a^x）．

（1）求函数f（x）的定义域，并判断f（x）的单调性；

（2）若n∈N^*，求；

（3）当a=e（e为自然对数的底数）时，设h（x）=（1﹣e^f（x））（x²﹣m+1）．若函数的极值存在，求实数m的取值范围以及函数h（x）的极值．

22．（14分）设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有a_n=5S_n+1成立，记．

（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；

（Ⅱ）记c_n=b_2n﹣b_2n﹣1（n∈N^*），设数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：对任意正整数n都有；

（Ⅲ）设数列{b_n}的前n项和为R_n．已知正实数λ满足：对任意正整数nR_n≤λn恒成立，求λ的最小值．

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2009年四川省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）设集合S={x||x|＜5}，T={x|x²+4x﹣21＜0}，则S∩T=（　　）

A．{x|﹣7＜x＜﹣5}B．{x|3＜x＜5} 

C．{x|﹣5＜x＜3} D．{x|﹣7＜x＜5} 

【考点】1E：交集及其运算；7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有

【分析】由绝对值的意义解出集合S，再解出集合T，求交集即可．

【解答】解：由S={x|﹣5＜x＜5}，T={x|﹣7＜x＜3}故S∩T={x|﹣5＜x＜3}，

故选：C．

【点评】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式，考查集合的运算，基础题．

2．（5分）已知函数连续，则常数a的值是（　　）

A．2B．3 C．4 D．5 

【考点】63：导数的运算．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】根据x=2的左右极限和x=2时的函数值，结合函数在一点处的连续性的定义求解．

【解答】解：由题意得：

==4，

又∵f（2）=a+log₂2=a+1，

由函数在一点处的连续性的定义知f（2）=，

故a+1=4，

解得a=3．

故选：B．

【点评】本小题考查分段函数的连续性，是简单的基础题．函数f（x）在点x₀连续的充要条件是：函数f（x）在点x₀既是右连续，又是左连续．

3．（5分）复数的值是（　　）

A．﹣1B．1 C．﹣i D．i 

【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】本题是一个复数的运算，包括除法和乘方，解题时要先计算分子上的乘方，再计算除法，注意虚数单位i的运算性质．

【解答】解：∵=

=

==﹣1，

∴原式=﹣1

故选：A．

【点评】本题是一个复数的运算，包括除法和乘方运算，实际上是复数的除法运算，解题时只要分子和分母同乘以分母的共轭复数，就可以得到结果．

4．（5分）已知函数f（x）=﹣sin（x+），（x∈R），下面结论错误的是（　　）

A．函数f（x）的最小正周期为2π

B．函数f（x）在区间[0，]上是增函数

C．函数f（x）的图象关于直线x=0对称

D．函数f（x）是奇函数

【考点】H9：余弦函数的定义域和值域；HB：余弦函数的对称性．菁优网版权所有

【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；57：三角函数的图像与性质．

【分析】由题意，f（x）=﹣cosx，可得A，B，C正确，判断D错误，可得结论．

【解答】解：由题意，f（x）=﹣cosx，可得A，B，C正确，

由于f（﹣x）=﹣cosx=f（x），函数是偶函数，即D错误，

故选：D．

【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．

5．（5分）如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（　　）

A．PB⊥AD

B．平面PAB⊥平面PBC

C．直线BC∥平面PAE

D．直线PD与平面ABC所成的角为45°

【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有

【分析】利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案．

【解答】解：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，

所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，

所以平面PAB⊥平面PBC也不成立；BC∥AD∥平面PAD，

∴直线BC∥平面PAE也不成立．

在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，

故选：D．

【点评】本题考查直线与平面成的角、直线与平面垂直的性质．

6．（5分）已知a，b，c，d为实数，且c＞d．则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 

C．充要条件D．既不充分也不必要条件 

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；71：不等关系与不等式．菁优网版权所有

【分析】由题意看命题“a＞b”与命题“a﹣c＞b﹣d”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．

【解答】解：∵a﹣c＞b﹣d，c＞d两个同向不等式相加得a＞b

但c＞d，a＞b⇒a﹣c＞b﹣d．

例如a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣3时，a﹣c＜b﹣d．

故选：B．

【点评】此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．

7．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别是F₁、F₂，其一条渐近线方程为y=x，点在双曲线上、则•=（　　）

A．﹣12B．﹣2 C．0 D．4 

【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；KC：双曲线的性质．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】由双曲线的渐近线方程，不难给出a，b的关系，代入即可求出双曲线的标准方程，进而可以求出F₁、F₂，及P点坐标，求出向量坐标后代入向量内积公式即可求解．

【解答】解：由渐近线方程为y=x知双曲线是等轴双曲线，

∴双曲线方程是x²﹣y²=2，

于是两焦点坐标分别是F₁（﹣2，0）和F₂（2，0），

且或、

不妨令，

则，

∴•=

故选：C．

【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质和平面向量的数量积运算，处理的关键是熟练掌握双曲线的性质（顶点、焦点、渐近线、实轴、虚轴等与 a，b，c的关系），求出满足条件的向量的坐标后，再转化为平面向量的数量积运算．

8．（5分）如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90°，BA=BC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是（　　）

A．B．π C． D．2π 

【考点】ND：球的性质．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】欲求B、C两点的球面距离，即要求出球心角∠BOC，将其置于三角形BOC中解决．

【解答】解：∵AC是小圆的直径．

所以过球心O作小圆的垂线，垂足O′是AC的中点．

O′C=，AC=3，

∴BC=3，即BC=OB=OC．∴，

则B、C两点的球面距离=．

故选：B．

【点评】高考中时常出现与球有关的题目的考查，这类题目具有一定的难度．在球的问题解答时，有时若能通过构造加以转化，往往能化难为易，方便简洁．解有关球面距离的问题，最关键是突出球心，找出数量关系．

9．（5分）已知直线l₁：4x﹣3y+6=0和直线l₂：x=﹣1，抛物线y²=4x上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值是（　　）

A．B．2 C． D．3 

【考点】IT：点到直线的距离公式．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出P到直线l₁和直线l₂的距离d₁和d₂，求出d₁+d₂，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值．

【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a²，2a），则P到直线l₂：x=﹣1的距离d₂=a²+1；

P到直线l₁：4x﹣3y+6=0的距离d₁=

则d₁+d₂=a²+1=

当a=时，P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值为2

故选：B．

【点评】此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题

10．（5分）某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（　　）

A．12万元B．20万元 C．25万元 D．27万元 

【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有

【专题】12：应用题；16：压轴题．

【分析】先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可．

【解答】解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z=5x+3y，且

联立解得

由图可知，最优解为P（3，4），

∴z的最大值为z=5×3+3×4=27（万元）．

故选：D．

【点评】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．

11．（5分）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（　　）

A．60B．48 C．42 D．36 

【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】从3名女生中任取2人“捆”在一起，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙，则男生甲必须在A、B之间，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙．

【解答】解：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有C₃²A₂²=6种不同排法），

剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；

则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端．则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）

此时共有6×2=12种排法（A左B右和A右B左）

最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，

∴共有12×4=48种不同排法．

故选：B．

【点评】本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．

12．（5分）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则的值是（　　）

A．0B． C．1 D． 

【考点】3I：奇函数、偶函数；3T：函数的值．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】从xf（x+1）=（1+x）f（x）结构来看，要用递推的方法，先用赋值法求得，再由依此求解．

【解答】解：若x≠0，则有，取，

则有：

∵f（x）是偶函数，则

由此得

于是，

故选：A．

【点评】本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值，这类问题关键是将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律．

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13．（4分）的展开式的常数项是　﹣20　（用数字作答）

【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有

【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求得常数项．

【解答】解：，

令6﹣2r=0，得r=3

故展开式的常数项为（﹣1）³C₆³=﹣20

故答案为﹣20

【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．

14．（4分）若⊙O₁：x²+y²=5与⊙O₂：（x﹣m）²+y²=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是　4　．

【考点】IA：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；J1：圆的标准方程．菁优网版权所有

【专题】16：压轴题．

【分析】画出草图，O₁A⊥AO₂，有勾股定理可得m的值，再用等面积法，求线段AB的长度．

【解答】解：由题  O₁（0，0）与O₂：（m，0）

，O₁A⊥AO₂，

，∴m=±5

AB=

故答案为：4

【点评】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题．

15．（4分）如图所示，已知正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的各条棱长都相等，M是侧棱CC₁的中点，则异面直线AB₁和BM所成的角的大小是　90°　．

【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC﹣A₂B₂C₂，构造直角三角形A₂BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A₂M，从而求解．

【解答】解：设棱长为a，补正三棱柱ABC﹣A₂B₂C₂（如图）．

平移AB₁至A₂B，连接A₂M，∠MBA₂即为AB₁与BM所成的角，

在△A₂BM中，A₂B=a，BM==a，

A₂M==a，

∴A₂B²+BM²=A₂M²，

∴∠MBA₂=90°．

故答案为90°．

【点评】此题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．

16．（4分）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射，记的象为．若映射f：V→V满足：对所有及任意实数λ，μ都有，则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：

①设f是平面M上的线性变换，则

②对设，则f是平面M上的线性变换；

③若是平面M上的单位向量，对设，则f是平面M上的线性变换；

④设f是平面M上的线性变换，，若共线，则也共线．

其中真命题是　①②④　（写出所有真命题的序号）

【考点】3C：映射；96：平行向量（共线）．菁优网版权所有

【专题】16：压轴题．

【分析】本题考查的知识点的演绎推理，由已知中，若映射f：V→V满足：对所有及任意实数λ，μ都有，则f称为平面M上的线性变换．我们根据其定义对题目中的四个结论进行判断，即可得到结论．

【解答】解：令==，λ=μ=1，

由题有f（）=2f（）⇒f（）=，故①正确；

由题f（λ+μ）=2（λ+μ），

λf（）+μf（）=2λ+2μ）=2（λ+μ），

即f（λ+μ）=λf（）+μf（），故②正确；

由题f（λ+μ）=λ+μ﹣，

λf（）+μf（）=λ﹣+μ﹣，，

即f（λ+μ≠λf（）+μf（），故③不正确；

由题=λ，f（）=f（﹣λ）=f（）﹣λf（）⇒f（）=λf（），

即f（），f（）也共线，故④正确；

故答案为：①②④

【点评】演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．

三、解答题（共6小题，满分74分）

17．（12分）在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2A=，sinB=．

（1）求A+B的值；

（2）若a﹣b=﹣1，求a、b、c的值．

【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．菁优网版权所有

【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系可得cosB的值，再由余弦函数的二倍角公式可得sinA和cosA的值，最后根据两角和的余弦公式可得答案．

（2）根据（1）可求出角C的值，进而得到角C的正弦值，再由正弦定理可求出abc的值．

【解答】解：（1）∵A、B为锐角，sinB=，

∴cosB==．

又cos2A=1﹣2sin²A=，

∴sinA=，cosA==．

∴cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=×﹣×=．

∵0＜A+B＜π，∴A+B=．

（2）由（1）知C=，∴sinC=．

由正弦定理==得

a=b=c，即a=b，c=b．

∵a﹣b=﹣1，∴b﹣b=﹣1，∴b=1．

∴a=，c=．

【点评】本小题主要考查同角三角函数间的关系、两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力．

18．（12分）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡．

（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；

（Ⅱ）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．记出事件，表示出事件的概率，根据互斥事件的概率公式，得到结论．

（Ⅱ）在该团的境内游客中随机采访3名游客，其中持银卡人数为随机变量ξ，则得到ξ的可能取值，做出变量在不同取值时对应的概率，写出分布列和期望．

【解答】解：（Ⅰ）∵现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，

其中是省外游客，其余是省内游客．

∴由题意得，省外游客有27人，

其中9人持金卡；境内游客有9人，其中6人持银卡．

设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，

事件A₁为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，

事件A₂为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”．

P（B）=P（A₁）+P（A₂）

=

=

所以，在该团中随机采访3人，

恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是．

（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3

P（ξ=0）=；，P（ξ=1）=．

P=（ξ=2）=，P（ξ=3）=，

所以ξ的分布列为

∴Eξ=．

【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力，注意满足独立重复试验的条件，解题过程中判断概率的类型是难点也是重点，这种题目高考必考，应注意解题的格式．

19．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°

（I）求证：EF⊥平面BCE；

（Ⅱ）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥平面BCE；

（Ⅲ）求二面角F﹣BD﹣A的大小．

【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系；LS：直线与平面平行；LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；14：证明题．

【分析】（1）欲证EF⊥平面BCE，根据线面垂直的判定定理可知只需证EF⊥BE，BC⊥EF，BC∩BE=B，根据条件很显然；

（2）取BE的中点N，连接CN，MN，易证PM∥CN，根据线面平行的判定定理很快得证；

（3）作FG⊥AB，交BA的延长线于G，作GH⊥BD于H，连接FH，易证∠FHG为二面角F﹣BD﹣A的平面角，在Rt△FGH中求出此角即可．

【解答】解：因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，

所以BC⊥平面ABEF

所以BC⊥EF

因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，

所以∠AEB=45°，

又因为∠AEF=45，

所以∠FEB=90°，即EF⊥BE

因为BC⊂平面ABCD，BE⊂平面BCE，

BC∩BE=B

所以EF⊥平面BCE

（ II）取BE的中点N，连接CN，MN，则MN==PC

∴PMNC为平行四边形，所以PM∥CN

∵CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，

∴PM∥平面BCE．

（III）由EA⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，易知EA⊥平面ABCD、

作FG⊥AB，交BA的延长线于G，则FG∥EA、从而FG⊥平面ABCD，

作GH⊥BD于H，连接FH，则由三垂线定理知BD⊥FH、

∴∠FHG为二面角F﹣BD﹣A的平面角、

∵FA=FE，∠AEF=45°，

∠AEF=90°，∠FAG=45°、

设AB=1，则AE=1，AF=，则

在Rt△BGH中，∠GBH=45°，BG=AB+AG=1+=，

，

在Rt△FGH中，，

∴二面角F﹣BD﹣A的大小为

【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率，右准线方程为x=2．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点F₁的直线l与该椭圆交于M、N两点，且，求直线l的方程．

【考点】IG：直线的一般式方程与直线的性质；K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】（1）由已知得，解得，由此能得到所求椭圆的方程．

（2）由题意知F₁（﹣1，0）、F₂（1，0），①若直线l的斜率不存在，

则直线l的方程为x=﹣1，由得

设、，，这与已知相矛盾．

②若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），联立，消元得（1+2k²）x²+4k²x+2k²﹣2=0．再由根与系数的关系进行求解．

【解答】解：（1）由已知得，

解得

∴∴所求椭圆的方程为

（ 2）由（1）得F₁（﹣1，0）、F₂（1，0）

①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=﹣1，

由得

设、，

∴，这与已知相矛盾．

②若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+1），

设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），

联立，消元得（1+2k²）x²+4k²x+2k²﹣2=0

∴，

∴．

又∵

∴

∴

化简得40k⁴﹣23k²﹣17=0

解得k²=1或k²=（舍去）

∴k=±1

∴所求直线l的方程为y=x+1或y=﹣x﹣1

【点评】本题考查直线和圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，合理解答．

21．（12分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log_a（1﹣a^x）．

（1）求函数f（x）的定义域，并判断f（x）的单调性；

（2）若n∈N^*，求；

（3）当a=e（e为自然对数的底数）时，设h（x）=（1﹣e^f（x））（x²﹣m+1）．若函数的极值存在，求实数m的取值范围以及函数h（x）的极值．

【考点】4K：对数函数的定义域；4O：对数函数的单调性与特殊点；6D：利用导数研究函数的极值；6F：极限及其运算．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】（1）据对数函数的真数大于0，列出不等式求出定义域；求出导函数，利用导函数大于0函数得到递增；导函数小于0函数单调递减．

（2）求出f（n）代入极限式，利用特殊函数的极限值求出极限．

（3）求出导函数，令导函数为0，导函数是否有根进行分类讨论；导函数的根是否在定义域内再一次引起分类讨论，利用极值的定义求出极值．

【解答】解：（1）由题意知，1﹣a^x＞0

所以当0＜a＜1时，f（x）的定义域是（0，+∞），a＞1时，f（x）的定义域是（﹣∞，0），

f′（x）==

当0＜a＜1时，x∈（0，+∞），因为a^x﹣1＜0，a^x＞0，故f'（x）＜0，所以f（x）是减函数．

当a＞1时，x∈（﹣∞，0），因为a^x﹣1＜0，a^x＞0，故f'（x）＜0，所以f（x）是减函数．

（2）因为f（n）=log_a（1﹣aⁿ），所以a^f（n）=1﹣aⁿ，由函数定义域知1﹣aⁿ＞0，因为n是正整数，故0＜a＜1，

所以=．

（3）h（x）=e^x（x²﹣m+1）（x＜0），所以h'（x）=e^x（x²+2x﹣m+1），令h'（x）=0，即x²+2x﹣m+1=0，由题意应有△≥0，即m≥0．

①当m=0时，h'（x）=0有实根x=﹣1，在x=﹣1点左右两侧均有h'（x）＞0，故h（x）无极值．

②当0＜m＜1时，h'（x）=0有两个实根，．当x变化时，h'（x）的变化情况如下表：

∴h（x）的极大值为，h（x）的极小值为．

③当m≥1时，h'（x）=0在定义域内有一个实根．

同上可得h（x）的极大值为．

综上所述，m∈（0，+∞）时，函数h（x）有极值．

当0＜m＜1时，h（x）的极大值为，h（x）的极小值为．

当m≥1时，h（x）的极大值为．

【点评】本题考查利用导数的符号讨论函数的单调性；利用导数研究函数的极值；在含参数的函数中需要分类讨论．

22．（14分）设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有a_n=5S_n+1成立，记．

（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；

（Ⅱ）记c_n=b_2n﹣b_2n﹣1（n∈N^*），设数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：对任意正整数n都有；

（Ⅲ）设数列{b_n}的前n项和为R_n．已知正实数λ满足：对任意正整数nR_n≤λn恒成立，求λ的最小值．

【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式；8K：数列与不等式的综合．菁优网版权所有

【专题】15：综合题；16：压轴题．

【分析】（Ⅰ）由题设条件能导出a_n+1﹣a_n=5a_n+1，即，所以，∴．

（Ⅱ）由，知=，当n=1时，；当n≥2时，

．

（Ⅲ）由知R_n=b₁+b₂+…+b_2k+1==＞4n﹣1．由此入手能推导出正实数λ的最小值为4．

【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=5a₁+1，∴

又∵a_n=5S_n+1，a_n+1=5S_n+1+1

∴a_n+1﹣a_n=5a_n+1，即

∴数列a_n成等比数列，其首项，公比是

∴

∴

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

∴

=

又，∴

当n=1时，

当n≥2时，

=

，故所证结论成立

（Ⅲ）由（Ⅰ）知

一方面，已知R_n≤λn恒成立，取n为大于1的奇数时，设n=2k+1（k∈N⁺）

则R_n=b₁+b₂+…+b_2k+1

=

=

＞4n﹣1

∴λn≥R_n＞4n﹣1，即（λ﹣4）n＞﹣1对一切大于1的奇数n恒成立

∴λ≥4否则，（λ﹣4）n＞﹣1只对满足的正奇数n成立，矛盾．

另一方面，当λ=4时，对一切的正整数n都有R_n≤4n

事实上，对任意的正整数k，有

=

=

∴当n为偶数时，设n=2m（m∈N⁺）

则R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n﹣1+b_2n）

＜8m=4n

当n为奇数时，设n=2m﹣1（m∈N⁺）

则R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n﹣3+b_2n﹣2）+b_2n﹣1

＜8（m﹣1）+4=8m﹣4=4n

∴对一切的正整数n，都有R_n≤4n

综上所述，正实数λ的最小值为4

【点评】本题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．