2010年四川省高考数学试卷（理科）（含解析版）_理科数学_2000年以后试题_四川高考题_四川印象

2010年四川省高考数学试卷（理科）（含解析版）

来源：四川省地方志工作办公室发布时间：2019-05-12 22:16:54 浏览次数：次【字体：小大】

2010年四川省高考数学试卷（理科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）i是虚数单位，计算i+i²+i³=（　　）

A．﹣1B．1 C．﹣i D．i

2．（5分）下列四个图象所表示的函数，在点x=0处连续的是（　　）

A．B．

C． D．

3．（5分）2log₅10+log₅0.25=（　　）

A．0B．1 C．2 D．4

4．（5分）函数f（x）=x²+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是（　　）

A．m=﹣2B．m=2 C．m=﹣1 D．m=1

5．（5分）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则=（　　）

A．8B．4 C．2 D．1

6．（5分）将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（　　）

A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x﹣）

C．y=sin（x﹣）D．y=sin（x﹣）

7．（5分）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（　　）

A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱

B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱

C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱

D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱

8．（5分）已知数列{a_n}的首项a₁≠0，其前n项的和为S_n，且S_n₊₁=2S_n+a₁，则=（　　）

A．0B． C．1 D．2

9．（5分）椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

A．（0，] B．（0，] C．[，1） D．[，1）

10．（5分）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（　　）

A．72B．96 C．108 D．144

11．（5分）半径为R的球O的直径AB垂直于平面α，垂足为B，△BCD是平面α内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，那么M、N两点间的球面距离是（　　）

A．B． C． D．

12．（5分）设a＞b＞c＞0，则2a²++﹣10ac+25c²的最小值是（　　）

A．2B．4 C． D．5

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13．（4分）的展开式中的第四项是　　．

14．（4分）直线x﹣2y+5=0与圆x²+y²=8相交于A、B两点，则|AB|=　　．

15．（4分）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是　　．

16．（4分）设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x﹣y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：

①集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集；

②若S为封闭集，则一定有0∈S；

③封闭集一定是无限集；

④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．

其中真命题是　　．（写出所有真命题的序号）

三、解答题（共6小题，满分74分）

17．（12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．

（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；

（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．

18．（12分）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点．

（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；

（Ⅱ）求二面角M﹣BC′﹣B′的大小；

（Ⅲ）求三棱锥M﹣OBC的体积．

19．（12分）（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式C_α₊_β：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ；②由C_α₊_β推导两角和的正弦公式S_α₊_β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．

（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求cosC．

20．（12分）已知定点A（﹣1，0），F（2，0），定直线l：x=，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．

21．（12分）已知数列{a_n}满足a₁=0，a₂=2，且对任意m、n∈N^*都有a_2m﹣1+a_2n﹣1=2a_m₊_n﹣1+2（m﹣n）²

（1）求a₃，a₅；

（2）设b_n=a_2n₊₁﹣a_2n﹣1（n∈N^*），证明：{b_n}是等差数列；

（3）设c_n=（a_n₊₁﹣a_n）q^n﹣1（q≠0，n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和S_n．

22．（14分）设f（x）=（a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．

（1）设关于x的方程log_a=g（x）在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；

（2）当a=e（e为自然对数的底数）时，证明：g（k）＞；

（3）当0＜a≤时，试比较|f（k）﹣n|与4的大小，并说明理由．

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2010年四川省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）i是虚数单位，计算i+i²+i³=（　　）

A．﹣1B．1 C．﹣i D．i

【分析】利用复数i的幂的运算，容易得到答案．

【解答】解：由复数性质知：i²=﹣1

故i+i²+i³=i+（﹣1）+（﹣i）=﹣1

故选：A．

【点评】本题考查复数幂的运算，是基础题．

2．（5分）下列四个图象所表示的函数，在点x=0处连续的是（　　）

A．B．

C．D．

【专题】31：数形结合．

【分析】根据连续的定义，函数f在x=0连续，满足两个条件f不仅在x=0处有极限且有定义，而且等于它的函数值．根据图象可知A函数在x=0无定义，B有间断点即极限不存在，C虽然有极限但是极限不等于f（0），得到正确答案即可．

【解答】解：由图象及函数连续的性质知，A中的函数在x=0处无意义，所以不连续；B中的函数x趋于0无极限，所以不连续；C中虽然有极限，但是不等于f（0），所以不连续；只有D满足连续的定义，所以D中的函数在x=0连续．所以D正确．

故选：D．

【点评】考查学生掌握连续的定义，会利用数学结合的数学思想解决实际问题．

3．（5分）2log₅10+log₅0.25=（　　）

A．0B．1 C．2 D．4

【分析】根据对数运算法则可直接得到答案．

【解答】解：∵2log₅10+log₅0.25

=log₅100+log₅0.25

=log₅25

故选：C．

【点评】本题主要考查对数的运算法则．

4．（5分）函数f（x）=x²+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是（　　）

A．m=﹣2B．m=2 C．m=﹣1 D．m=1

【专题】11：计算题．

【分析】根据二次函数对称轴定义和互为充要条件的条件去判断即可．

【解答】解：函数f（x）=x²+mx+1的对称轴为x=﹣

⇔﹣=1⇒m=﹣2．

故选：A．

【点评】本题考查了互为充要条件的关系和二次函数的对称轴问题．

5．（5分）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则=（　　）

A．8B．4 C．2 D．1

【分析】先求出||=4，又因为=||=2=4，可得答案．

【解答】解：由=16，得||=4，

∵=||=4，

而

∴=2

故选：C．

【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，属基础题．

A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x﹣）

C．y=sin（x﹣）D．y=sin（x﹣）

【专题】48：分析法．

【分析】先根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的2倍时w变为原来的倍进行横向变换．

【解答】解：将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y=sin（x﹣）

再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y=sin（x﹣）．

故选：C．

【点评】本题主要考查三角函数的平移变换．平移的原则是左加右减、上加下减．

A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱

B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱

C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱

D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，根据题意列出不等式组，找出目标函数

【解答】解：设甲车间加工原料x箱，

乙车间加工原料y箱，

则

目标函数z=280x+200y

结合图象可得：当x=15，y=55时z最大．

故选：B．

【点评】在解决线性规划问题是，我们常寻找边界点，代入验证确定最值

8．（5分）已知数列{a_n}的首项a₁≠0，其前n项的和为S_n，且S_n₊₁=2S_n+a₁，则=（　　）

A．0B． C．1 D．2

【专题】11：计算题．

【分析】由题意知a_n₊₂=2a_n₊₁，再由S₂=2S₁+a₁，即a₂+a₁=2a₁+a₁Þa₂=2a₁，知{a_n}是公比为2的等比数列，所以S_n=a₁+2a₁+2²a₁++2^n﹣1a₁=（2ⁿ﹣1）a₁，由此可知答案．

【解答】解：由S_n₊₁=2S_n+a₁，且S_n₊₂=2S_n₊₁+a₁

作差得a_n₊₂=2a_n₊₁

又S₂=2S₁+a₁，即a₂+a₁=2a₁+a₁Þa₂=2a₁

故{a_n}是公比为2的等比数列

S_n=a₁+2a₁+2²a₁++2^n﹣1a₁=（2ⁿ﹣1）a₁

则

故选：B．

【点评】本题考查数列的极限和性质，解题时要认真审题，仔细解答．

9．（5分）椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

A．（0，] B．（0，] C．[，1） D．[，1）

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，根据|PF|的范围求得|FA|的范围，进而求得的范围即离心率e的范围．

【解答】解：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等

而|FA|=

|PF|∈[a﹣c，a+c]

于是∈[a﹣c，a+c]

即ac﹣c²≤b²≤ac+c²

∴

又e∈（0，1）

故选：D．

【点评】本题主要考查椭圆的基本性质．属基础题．

10．（5分）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（　　）

A．72B．96 C．108 D．144

【专题】11：计算题．

【分析】本题是一个分步计数原理，先选一个偶数字排个位，有3种选法，对于5要求比较多，需要分类，若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，根据分步计数原理得到结果．

【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数原理，

先选一个偶数字排个位，有3种选法，

①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，有A₃²种，然后剩下的两个位置全排列，共有2A₃²A₂²=24个；

②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，有A₂²种，然后剩下的两个位置全排列，共3A₂²A₂²=12个

根据分步计数原理知共计3（24+12）=108个

故选：C．

【点评】本题考查分步计数原理，考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个数字问题，这种问题的限制条件比较多，注意做到不重不漏．

A． B． C． D．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】求解本题需要根据题意求解出题目中的角MON的余弦，再代入求解，即可求出MN的两点距离．

【解答】解：由已知，AB=2R，BC=R，

故tan∠BAC=

cos∠BAC=

连接OM，则△OAM为等腰三角形

AM=2AOcos∠BAC=，

同理AN=，且MN∥CD

而AC=R，CD=R

故MN：CD=AM：AC

MN=，

连接OM、ON，有OM=ON=R

于是cos∠MON=

所以M、N两点间的球面距离是．

故选：A．

【点评】本题考查学生的空间想象能力，以及学生对球面上的点的距离求解，是中档题．

12．（5分）设a＞b＞c＞0，则2a²++﹣10ac+25c²的最小值是（　　）

A．2B．4 C． D．5

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】先把整理成，进而利用均值不等式求得原式的最小值．

【解答】解：

≥0+2+2=4

当且仅当a﹣5c=0，ab=1，a（a﹣b）=1时等号成立

如取a=，b=，c=满足条件．

故选：B．

【点评】本题主要考查了基本不等式的应用．主要考查了运用基本不等式求最值的问题．

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13．（4分）的展开式中的第四项是　﹣　．

【专题】11：计算题．

【分析】利用二项式的展开式的通项公式求出第4项．

【解答】解：T₄=

故答案为：﹣

【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．

14．（4分）直线x﹣2y+5=0与圆x²+y²=8相交于A、B两点，则|AB|=　2　．

【分析】可以直接求出A、B然后求值；也可以用圆心到直线的距离来求解．

【解答】解：圆心为（0，0），半径为2，

圆心到直线x﹣2y+5=0的距离为d=，

故，

得|AB|=2．

故答案为：2．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的理解能力，是基础题．

15．（4分）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是　　．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D，连接AD，从而∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角，在直角三角形ABC中求出此角即可．

【解答】解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，

在β内过C作l的垂线．垂足为D

连接AD，有三垂线定理可知AD⊥l，

故∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，为60°

又由已知，∠ABD=30°

连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角

设AD=2，则AC=，CD=1

AB==4

∴sin∠ABC=；

故答案为．

【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及直线与平面所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

16．（4分）设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x﹣y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：

①集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集；

②若S为封闭集，则一定有0∈S；

③封闭集一定是无限集；

④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．

其中真命题是　①②　．（写出所有真命题的序号）

【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题；23：新定义．

【分析】由题意直接验证①即可判断正误；令x=y可推出②是正确的；找出反例集合S={0}，即可判断③的错误．S={0}，T={0，1}，推出﹣1不属于T，判断④是错误的．

【解答】解：两个复数的和是复数，两个复数的差也是复数，所以集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集，①正确．

当S为封闭集时，因为x﹣y∈S，取x=y，得0∈S，②正确

对于集合S={0}，显然满足所有条件，但S是有限集，③错误

取S={0}，T={0，1}，满足S⊆T⊆C，但由于0﹣1=﹣1不属于T，故T不是封闭集，④错误．

【点评】本题考查复数的基本概念，集合的子集，集合的包含关系判断及应用，是中档题．

三、解答题（共6小题，满分74分）

（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；

（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．

【专题】11：计算题．

【分析】（1）甲、乙、丙三位同学每人是否中奖相互独立，可利用独立事件的概率求解，甲中奖概率为，乙、丙没有中奖的概率为，相乘即可．

（2）中奖人数ξ的所有取值为0，1，2，3，是二项分布．ξ～B（3，）

【解答】解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么

P（A）=P（B）=P（C）=，

P（）=P（A）P（）P（）=，

答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为．

（2）ξ的可能值为0，1，2，3，

P（ξ=k）=（k=0，1，2，3）

所以中奖人数ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P

E_ξ=0×+1×+2×+3×=．

【点评】本题考查相互独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、二项分布及期望等知识．同时考查利用所学知识分析问题解决问题的能力．

18．（12分）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点．

（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；

（Ⅱ）求二面角M﹣BC′﹣B′的大小；

（Ⅲ）求三棱锥M﹣OBC的体积．

【专题】11：计算题；15：综合题；35：转化思想．

【分析】（Ⅰ）连接AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连接OK，证明MO⊥AA′，MO⊥BD′

OM是异面直线AA′和BD′都相交，即可证明OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；

（Ⅱ）取BB′中点N，连接MN，则MN⊥平面BCC′B′，过点N作NH⊥BC′于H，连接MH，说明∠MHN为二面角M﹣BC′﹣B′的平面角，解三角形求二面角M﹣BC′﹣B′的大小；

（Ⅲ）利用V_M﹣OBC=V_M﹣OA’D’=V_O﹣MA’D’，求出S_△_MA’D’以及O到平面MA′D′距离h，即可求三棱锥M﹣OBC的体积．

【解答】解：（Ⅰ）连接AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连接OK

因为M是棱AA′的中点，点O是BD′的中点

所以AM

所以MO

由AA′⊥AK，得MO⊥AA′

因为AK⊥BD，AK⊥BB′，所以AK⊥平面BDD′B′

所以AK⊥BD′

所以MO⊥BD′

又因为OM是异面直线AA′和BD′都相交

故OM为异面直线AA′和BD′的公垂线

（Ⅱ）取BB′中点N，连接MN，则MN⊥平面BCC′B′

过点N作NH⊥BC′于H，连接MH

则由三垂线定理得BC’⊥MH

从而，∠MHN为二面角M﹣BC′﹣B′的平面角

MN=1，NH=BNsin45°=

在Rt△MNH中，tan∠MHN=

故二面角M﹣BC′﹣B′的大小为arctan2

（Ⅲ）易知，S_△_OBC=S_△_OA’D’，且△OBC和△OA′D′都在平面BCD′A′内

点O到平面MA′D′距离h=

V_M﹣OBC=V_M﹣OA’D’=V_O﹣MA’D’=S_△_MA’D’h=

【点评】本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力．

（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求cosC．

【专题】11：计算题；14：证明题．

【分析】（Ⅰ）①建立单位圆，在单位圆中作出角，找出相应的单位圆上的点的坐标，由两点间距离公式建立方程化简整理既得；②由诱导公式cos[﹣（α+β）]=sin（α+β）变形整理可得．

（Ⅱ），求出角A的正弦，再由，用cosC=﹣cos（A+B）求解即可．

【解答】解：（Ⅰ）①如图，在直角坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与﹣β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P₁，

终边交⊙O于P₂；

角β的始边为OP₂，终边交⊙O于P₃；角﹣β的始边为OP₁，终边交⊙O于P₄．

则P₁（1，0），P₂（cosα，sinα）

P₃（cos（α+β），sin（α+β）），P₄（cos（﹣β），sin（﹣β））

由P₁P₃=P₂P₄及两点间的距离公式，得

[cos（α+β）﹣1]²+sin²（α+β）=[cos（﹣β）﹣cosα]²+[sin（﹣β）﹣sinα]²

展开并整理得：2﹣2cos（α+β）=2﹣2（cosαcosβ﹣sinαsinβ）

∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ．（4分）

②由①易得cos（﹣α）=sinα，sin（﹣α）=cosα

sin（α+β）=cos[﹣（α+β）]=cos[（﹣α）+（﹣β）]

=cos（﹣α）cos（﹣β）﹣sin（﹣α）sin（﹣β）

=sinαcosβ+cosαsinβ（6分）

（Ⅱ）由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c

则S=bcsinA==bccosA=3＞0

∴A∈（0，），cosA=3sinA

又sin²A+cos²A=1，∴sinA=，cosA=

由题意，cosB=，得sinB=

∴cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=

故cosC=cos[π﹣（A+B）]=﹣cos（A+B）=﹣（12分）

【点评】本小题主要考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．

【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．

【分析】（Ⅰ）设P（x，y），欲求点P的轨迹方程，只须求出x，y之间的关系式即可，结合题中条件：“动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍”利用距离公式即得；

（Ⅱ）先分类讨论：①当直线BC与x轴不垂直时；②当直线BC与x轴垂直时，对于第①种情形，设BC的方程为y=k（x﹣2），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合向量垂直的关系利用向量的坐标运算即可求得结论，从而解决问题．对于第②种情形，由于直线方程较简单，直接代入计算即可验证．

【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则

化简得x²﹣=1（y≠0）；

（Ⅱ）①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x﹣2）（k≠0）

与双曲线x²﹣=1联立消去y得（3﹣k²）x²+4k²x﹣（4k²+3）=0

由题意知3﹣k²≠0且△＞0

设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则

y₁y₂=k²（x₁﹣2）（x₂﹣2）=k²[x₁x₂﹣2（x₁+x₂）+4]=k²（+4）=

因为x₁、x₂≠﹣1，所以直线AB的方程为y=（x+1）

因此M点的坐标为（），

同理可得

因此==0

②当直线BC与x轴垂直时，直线方程为x=2，则B（2，3），C（2，﹣3）

AB的方程为y=x+1，因此M点的坐标为（），

同理可得

因此=0

综上=0，即FM⊥FN

故以线段MN为直径的圆经过点F．

【点评】本小题主要考查直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．

21．（12分）已知数列{a_n}满足a₁=0，a₂=2，且对任意m、n∈N^*都有a_2m﹣1+a_2n﹣1=2a_m₊_n﹣1+2（m﹣n）²

（1）求a₃，a₅；

（2）设b_n=a_2n₊₁﹣a_2n﹣1（n∈N^*），证明：{b_n}是等差数列；

（3）设c_n=（a_n₊₁﹣a_n）q^n﹣1（q≠0，n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和S_n．

【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．

【分析】（1）欲求a₃，a₅只需令m=2，n=1赋值即可．

（2）以n+2代替m，然后利用配凑得到b_n₊₁﹣b_n，和等差数列的定义即可证明．

（3）由（1）（2）两问的结果可以求得c_n，利用乘公比错位相减求{c_n}的前n项和S_n．

【解答】解：（1）由题意，令m=2，n=1，可得a₃=2a₂﹣a₁+2=6

再令m=3，n=1，可得a₅=2a₃﹣a₁+8=20

（2）当n∈N^*时，由已知（以n+2代替m）可得

a_2n₊₃+a_2n﹣1=2a_2n₊₁+8

于是[a_2（n₊_1）₊₁﹣a_2（n₊_1）﹣1]﹣（a_2n₊₁﹣a_2n﹣1）=8

即b_n₊₁﹣b_n=8

所以{b_n}是公差为8的等差数列

（3）由（1）（2）解答可知{b_n}是首项为b₁=a₃﹣a₁=6，公差为8的等差数列

则b_n=8n﹣2，即a_2n₊₁﹣a_2n﹣1=8n﹣2

另由已知（令m=1）可得

a_n=﹣（n﹣1）²．

那么a_n₊₁﹣a_n=﹣2n+1=﹣2n+1=2n

于是c_n=2nq^n﹣1．

当q=1时，S_n=2+4+6++2n=n（n+1）

当q≠1时，S_n=2•q⁰+4•q¹+6•q²+…+2n•q^n﹣1．

两边同乘以q，可得

qS_n=2•q¹+4•q²+6•q³+…+2n•qⁿ．

上述两式相减得

（1﹣q）S_n=2（1+q+q²+…+q^n﹣1）﹣2nqⁿ

=2•﹣2nqⁿ

=2•

所以S_n=2•

综上所述，S_n=．

【点评】本小题是中档题，主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．同时考查了等差，等比数列的定义，通项公式，和数列求和的方法．

22．（14分）设f（x）=（a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．

（1）设关于x的方程log_a=g（x）在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；

（2）当a=e（e为自然对数的底数）时，证明：g（k）＞；

（3）当0＜a≤时，试比较|f（k）﹣n|与4的大小，并说明理由．

【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．

【分析】（Ⅰ）求出g（x），在[2，6]上有实数解，求出t的表达式，利用导数确定t 的范围；

（Ⅱ）a=e求出，利用导数推出是增函数，求出最小值，即可证明；

（Ⅲ）利用放缩法，求出||的取值范围，最后推出小于4即可．

【解答】解：（1）由题意，得a^x=＞0

故g（x）=，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

由得t=（x﹣1）²（7﹣x），x∈[2，6]

则t′=﹣3x²+18x﹣15=﹣3（x﹣1）（x﹣5）

列表如下：

（2，5）

（5，6）

﹣

递增

极大值32

递减

所以t_最小值=5，t_最大值=32

所以t的取值范围为[5，32]（5分）

（Ⅱ）

=ln（）

=﹣ln

令u（z）=﹣lnz²﹣=﹣2lnz+z﹣，z＞0

则u′（z）=﹣=（1﹣）²≥0

所以u（z）在（0，+∞）上是增函数

又因为＞1＞0，所以u（）＞u（1）=0

即ln＞0

即（9分）

（3）设a=，则p≥1，1＜f（1）=≤3，

当n=1时，|f（1）﹣1|=≤2＜4，

当n≥2时，

设k≥2，k∈N^*时，则f（k）=，

=1+

所以1＜f（k）≤1+，

从而n﹣1＜≤n﹣1+=n+1﹣＜n+1，

所以n＜＜f（1）+n+1≤n+4，

综上所述，总有|﹣n|＜4．

【点评】本小题考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力．

来源：四川省地方志工作办公室

终审：何晓波

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