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2023-07-31 10:47:22

2015年四川省高考数学试卷(理科)(含解析版)

来源:四川省地方志工作办公室 发布时间:2019-05-18 12:53:16 浏览次数: 【字体:


2015年四川省高考数学试卷(理科)

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。

1.(5分)设集合A={x|(x+1)(x﹣2)0},集合B={x|1x3},则AB=(  )

A.{x|﹣1<x<3}B.{x|﹣1x1} C.{x|1x2} D.{x|2x3}

2.(5分)设i是虚数单位,则复数i3fa1a15e6823b4d44aa06cc70d1da4557.Png=(  )

A.﹣iB.﹣3i C.i D.3i 

3.(5分)执行如图所示的程序框图,输出s的值为(  )

90434f3ede084d43be9cfe73733f5ff8.Png

A.﹣B.6df87c8cf7cf4b30929da4ada5ae86d5.Png C.﹣bcf21c870d814700b128cdf48d0dcb1d.Png D.8fcb877603c14da2b6987b1541c95955.Png 

4.(5分)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(  )

A.y=cos(2x+)B.y=sin(2x+190ccec0c78f4242b2581f0368d3073b.Png 

C.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx 

5.(5分)过双曲线x251dae32e91a54252a8737209d539e093.Png=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A、B两点,则|AB|=(  )

A.B.2c999156c4cce4534808102f80f32668c.Png C.6 D.4d5981aaa5a784cad87d5b9413655a9ab.Png 

6.(5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有(  )

A.144个B.120个 C.96个 D.72个 

7.(5分)设四边形ABCD为平行四边形,|ca740644b7e649698e1b4b4939eddf2c.Png|=6,|c4eec22009fa45028cda1a71520decf7.Png|=4,若点M、N满足a37b784b534d498593af0d5adfab703f.Png6d0a78b0b65d48518e70caa6de259dce.Png,则7feabd5521684f138ae9694ba99c62e5.Png=(  )

A.20B.15 C.9 D.6 

8.(5分)设a、b都是不等于1的正数,则“3a3b3”是“loga3logb3”的(  )

A.充要条件B.充分不必要条件 

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 

9.(5分)如果函数f(x)=6fb911ce2d0e40b1bdfe2f71a1b133d8.Png(m﹣2)x2+(n﹣8)x+1(m0,n0)在区间[3089812bf46a4c0499e56e4faea850e8.Png]上单调递减,那么mn的最大值为(  )

A.16B.18 C.25 D.69d6f5a9dd5e4cf08d636d0d7eff55a3.Png 

10.(5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点,与圆(x﹣5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是(  )

A.(1,3)B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 

 

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。

11.(5分)在(2x﹣1)5的展开式中,含x2的项的系数是     (用数字填写答案).

12.(5分)sin15°+sin75°的值是     

13.(5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k、b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是     小时.

14.(5分)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,他们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E、F分别为AB、BC的中点,设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为     

4c95cbcdd4eb4eca85da71eca56ac839.Png

15.(5分)已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中aR).对于不相等的实数x1、x2,设m=5d39bd711467437ea9f58b51c049326c.Png,n=8466a756b02b48c3b3ccabc4a9e965dd.Png.现有如下命题:

对于任意不相等的实数x1、x2,都有m0;

对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2,都有n0;

对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2,使得m=n;

对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2,使得m=﹣n.

其中的真命题有     (写出所有真命题的序号).

 

三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.(12分)设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)记数列{4b20210ea6514a77a0c2e62664155594.Png}的前n项和为Tn,求使得|Tn﹣1|67c10c5172d7471698eda3eaf292d923.Png成立的n的最小值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.(12分)某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人,女生中随机抽取3人组成代表队.

(Ⅰ)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;

(Ⅱ)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.

 

 

 

 

 

 

18.(12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中,设BC的中点为M、GH的中点为N.

(Ⅰ)请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);

(Ⅱ)证明:直线MN平面BDH;

(Ⅲ)求二面角A﹣EG﹣M的余弦值.

cf03a9ae8fa64e949561a145082eedaa.Png

 

 

 

 

 

 

 

19.(12分)如图,A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角.

(Ⅰ)证明:tan25a351a5043243c69e7b1561ce90df7a.Png=2840025f27d247e3bb084a261f78bd5a.Png

(Ⅱ)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan966dedcdd7ed47b4a06a848e11e81477.Png+tanf3dbbff1ccef4339ad34e77110473528.Png+tan04840cfa7ced47b4ae85fe1d29ae2284.Png+tan8128f5d70c02446da00ec56b5d156892.Png的值.

c588d41ece954c489c3f73e8ad2a811e.Png

 

 

 

 

 

20.(13分)如图,椭圆E:902bc5a293694829b0f3ffd5e7d42f20.Png的离心率是92a8ef59dcbb46dea0384ad1321fb085.Png,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A、B两点,当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为2dd519118655645db8321b5966275e1b3.Png

(Ⅰ)求椭圆E的方程;

(Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中,是否存在与点P不同的定点Q,使得083092c05b2147da96b2929d6d193114.Png恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

68f93d30f6564fd9a1719785a56214f1.Png

 

 

 

 

 

 

 

21.(14分)已知函数f(x)=﹣2(x+a)lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a,其中a0.

(Ⅰ)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;

(Ⅱ)证明:存在a(0,1),使得f(x)0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.

 


 

2015年四川省高考数学试卷(理科)

参考答案与试题解析

 

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。

1.(5分)设集合A={x|(x+1)(x﹣2)0},集合B={x|1x3},则AB=(  )

A.{x|﹣1<x<3}B.{x|﹣1x1} C.{x|1x2} D.{x|2x3} 

 

【考点】1D:并集及其运算.菁优网版权所有

【专题】51:函数的性质及应用.

【分析】求解不等式得出集合A={x|﹣1x2}

根据集合的并集可求解答案.

【解答】解:集合A={x|(x+1)(x﹣2)0},集合B={x|1x3}

集合A={x|﹣1x2}

AB={x|﹣1x3}

故选:A.

【点评】本题考查了二次不等式的求解,集合的运算,属于容易题.

 

2.(5分)设i是虚数单位,则复数i32e10c24c8f6840859d0d47cbd9bcab8d.Png=(  )

A.﹣iB.﹣3i C.i D.3i 

 

【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有

【专题】11:计算题.

【分析】通分得出e77641e63a5f496fbcbfb76446debf0b.Png,利用i的性质运算即可.

【解答】解:i是虚数单位,则复数i381281e788dbe4bd5b03e7b80a3afd67f.Png

f0c007adebf0450384232328ae04d45e.Png=b8e30a0fa3aa415c935704110234b884.Png=132f7697331c4652bce7dc4ada2d6ec7.Png=i,

故选:C.

【点评】本题考查了复数的运算,掌握好运算法则即可,属于计算题.

 

3.(5分)执行如图所示的程序框图,输出s的值为(  )

bcf5f5a4f15c46909eac370942012f7a.Png

A.﹣B.4e2c263f038740ad9e70339ae1350a96.Png C.﹣af3445b9c60b4d42a4393f98e5371fc4.Png D.9b071b45fe2940639b939695aadbaafa.Png 

 

【考点】EF:程序框图.菁优网版权所有

【专题】27:图表型;5K:算法和程序框图.

【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的k的值,当k=5时满足条件k4,计算并输出S的值为e574e90079fa4c83ba0798bf06370b9c.Png

【解答】解:模拟执行程序框图,可得

k=1

k=2

不满足条件k4,k=3

不满足条件k4,k=4

不满足条件k4,k=5

满足条件k4,S=sin2492379dde824326bb7cec09bce7ad6d.Png=f5e29e4a6b834e72ae955fcb56d8248a.Png

输出S的值为39d040b20c9e430e8f1a5814b0b87470.Png

故选:D.

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基础题.

 

4.(5分)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(  )

A.y=cos(2x+)B.y=sin(2x+dba6c166556d46d79f4b54e4d71426bf.Png 

C.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx 

 

【考点】GP:两角和与差的三角函数;H1:三角函数的周期性.菁优网版权所有

【专题】57:三角函数的图像与性质.

【分析】求出函数的周期,函数的奇偶性,判断求解即可.

【解答】解:

y=cos(2x+49f58b85158d4028b198117fb97da892.Png)=﹣sin2x,是奇函数,函数的周期为:π,满足题意,所以A正确

y=sin(2x+3dbc3012843046f3897a3b757d606eed.Png)=cos2x,函数是偶函数,周期为:π,不满足题意,所以B不正确;

y=sin2x+cos2x=1da9c14d6253428583fa2e8ade684677.Pngsin(2x+a6b7be07d4ee4ec3ad2f53b4c9629871.Png),函数是非奇非偶函数,周期为π,所以C不正确;

y=sinx+cosx=97aad55f66ec46269e9b5d51950ba447.Pngsin(x+9210524cbaf74d1b9cd327a7ba02eb1f.Png),函数是非奇非偶函数,周期为2π,所以D不正确;

故选:A.

【点评】本题考查两角和与差的三角函数,函数的奇偶性以及红丝带周期的求法,考查计算能力.

 

5.(5分)过双曲线x2a519291d8b6f43d38e35f7af1fcd6bf0.Png=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A、B两点,则|AB|=(  )

A.B.2e4d8e791c88a41b88e163ff47b113816.Png C.6 D.40f9a874b544a483ba7c160c26bba1cbd.Png 

 

【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有

【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】求出双曲线的渐近线方程,求出AB的方程,得到AB坐标,即可求解|AB|

【解答】解:双曲线x21c9f602f9ee944fba537931958ed0e7e.Png=1的右焦点(2,0),渐近线方程为y=5773d903e7a84cd7b7a7ca6ba7cba3b1.Png

过双曲线x281fe21aed8924e86999ee83ddac55b70.Png=1的右焦点且与x轴垂直的直线,x=2,

可得yA=268b56395bdc84b43a333e8a23be99734.Png,yB=﹣24c2cb38350f34ebe9238c8ce7b3ba561.Png

∴|AB|=4ebe1d0b2060a49a39b4b58ce63ef4d29.Png

故选:D.

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查基本知识的应用.

 

6.(5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有(  )

A.144个B.120个 C.96个 D.72个 

 

【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.菁优网版权所有

【专题】12:应用题;5O:排列组合.

【分析】根据题意,符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个,末位数字为0、2、4中其中1个;进而对首位数字分2种情况讨论,首位数字为5时,首位数字为4时,每种情况下分析首位、末位数字的情况,再安排剩余的三个位置,由分步计数原理可得其情况数目,进而由分类加法原理,计算可得答案.

【解答】解:根据题意,符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个,末位数字为0、2、4中其中1个;

分两种情况讨论:

首位数字为5时,末位数字有3种情况,在剩余的4个数中任取3个,放在剩余的3个位置上,有A43=24种情况,此时有3×24=72个,

首位数字为4时,末位数字有2种情况,在剩余的4个数中任取3个,放在剩余的3个位置上,有A43=24种情况,此时有2×24=48个,

共有72+48=120个.

故选:B.

【点评】本题考查计数原理的运用,关键是根据题意,分析出满足题意的五位数的首位、末位数字的特征,进而可得其可选的情况.

 

7.(5分)设四边形ABCD为平行四边形,|c15e8aeab605499ea1caa59791655332.Png|=6,|148c0620acf04d33aeefb3c5759992d6.Png|=4,若点M、N满足873d038f4c8c4abda5712515d3eee495.Png8f6973e9b0bd481498e64a99b29eb64a.Png,则112ebce79a104f1181d49a78bdb13b8d.Png=(  )

A.20B.15 C.9 D.6 

 

【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.菁优网版权所有

【专题】5A:平面向量及应用.

【分析】根据图形得出db9917c9c6164590a818907638298a52.Png=bc7f66b10a014f6e8f301572ab66e6b6.Png+3d53ec48ec7444408a6d0f519b89d9d3.Png51332b1d18fd4b3898a9ca4ff64697d4.Png=0ce144ac90414cd2a4e2cddec01e8076.Png9f85cba72843437c9bf63e5a7f27e2df.Pngb59c463004b7484b9fdc43e765d5e8ae.Png

94acac8023014d0186a72ef733c52750.Png=8cbae1f259e045fd93d62682c34bc574.Png85de5e556e2b4b7a9fd8fbe132f25374.Pngc3f306399b614e77855aff93f0d26f92.Png=5f6a8d520ddf4982b26db370d25060aa.Png39abd1a53e3a4878ab56641b11817a46.Pngab02de49420c4f3f93966b7e6e9421c3.Png39a9a5f09cb94ef8a3dab757ea1ae1ad.Png=e941b31725334593a5cdedead7fb16dd.Png•(b9eaae1caf7843caa7853bb51d3953bd.Png0901f2846e694d0fb379489d680fc80b.Png)=57b87c0828a54b7cbceba95686b401a5.Png29ec0c0a579e54d2e89e0f46406416b8e.Pngb7c5852b0257489ab7e4a6a55d5a03c1.Png

结合向量结合向量的数量积求解即可.

【解答】解:四边形ABCD为平行四边形,点M、N满足19c0acc42b994d2fa2f120ab3849ddaa.Png0ddce9401b124bce9faf1cb195c3eca0.Png

根据图形可得:108c4aa7427146db98ef9089a538acf5.Png=75a749e5f3d84f22a72d919deabd33bb.Png+2206816868f6427b99589893e33b90c4.Png71fad6ec17d1427a9e5dcc989e948f57.Png=da887b769c6f4b09bebe1b85892c4fa5.Png3294dee32825498381cb9912c76bb214.Png98b34dcd30e84b5b9e0fa43393a8b862.Png

798477295fed47f094875e18cab732ef.Png=9e1398f416594b7ebbe9ef2eeb074ca9.Pngb59f0692f68945c08f3b1d33fad359c4.Pngeff3b65ad07d458e93a49051acdc87d6.Png=c106cb8e50754955ae98e9a854838d17.Pnga97114ce14be40c69e286ab0f329ad8c.Pnge187d4c25a1f4dac93ea6d9aca4a72f7.Png

c1f96911fb2c497586f0c7a0378d711d.Png=2e217854503645eb996acecb7b077e2f.Png4f32ff5001794488b17c710200c007d2.Png

bdd3cdcc2ef24a01981b502d2a02e1ce.Png=e401aaf800b641a58635010ce134aec2.Png•(ee2f7010d08445ae86d2560cb87effc8.Png8bfa314b4e9f4a318b0f2f460ed155ba.Png)=e6ead6a663ee49509dd267ca2e83c8df.Png200034806b0da4962a40e659d028e6d2d.Png9aa48fa10d924236aa0260410978f865.Png

d7692669ba2e43f4aa1f76abdfa4a0f5.Png2=9999a5550a46493e867dd6f335228602.Png231ad365891864a48b66ffdf8df0a3082.Png10568a2973dd4b04ae8d790963171a07.Png38fbb40290824ab38e23187b1c808f56.Png069f2f5e83ed45a5a5e866bd3882f4b0.Png943258c5d76f4074aeac2406ae0c6405.Png2

eb07b8058bf146879f33314cd7291f23.Pngfd49303340694755a3fee8dbc7a11361.Png=2a3ee541721d4b8ca8d02f6763d190a7.Png851c2e2ab99e4979865ed3733792b222.Png236090ec381fc45f685d178696754742e.Png529b3ab23d1c463db50a242c904466ce.Png25df7b85abc634b188dbde4be32f443c6.Png601677eb9e9a4897b9b36ae49f2b49a5.Png9c283131ee784408a7cb42d254d72abd.Png

|b3814c9a430349dd8df1e42796155a2c.Png|=6,|f55294883302445f9278225470758657.Png|=4,

39611f208c814aa4b80b29c2d3279229.Png=9c57d9287ccb4d2eb48c0d71dd5fe39b.Png2ff8d5fbd5f27429591c05f3253f4d7e8.Png800783061d2542f8a1f1c1f301ee384c.Png2=12﹣3=9

故选:C.

a01cbb1100fe473b86c95e8b0e0d5741.Png

【点评】本题考查了平面向量的运算,数量积的运用,考查了数形结合的思想,关键是向量的分解,表示.

 

8.(5分)设a、b都是不等于1的正数,则“3a3b3”是“loga3logb3”的(  )

A.充要条件B.充分不必要条件 

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 

 

【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件.菁优网版权所有

【专题】5L:简易逻辑.

【分析】求解3a3b3,得出ab1,

loga3logb3,a366b5b40baa43028e3f250b35cb5444.Png9ac214c1c84a487297a283d01f108c4f.Png根据对数函数的性质求解即可,

再利用充分必要条件的定义判断即可.

【解答】解:a、b都是不等于1的正数,

3a3b3,

ab1,

loga3logb3,

fa57b9cbe7914458a0e922f72795ab53.Png252c688e6410494b8eff7cc40af95631.Png

94d0bc1b571d4176a2ff65e1563422eb.Png0,

2b96010b0c5b44bbb6d8106951c0226e.Pnga4fc379cf02f4ab1b1df4447307ad085.Png

求解得出:ab1或1ab0或b1,0a1

根据充分必要条件定义得出:“3a3b3”是“loga3logb3”的充分条不必要件,

故选:B.

【点评】本题综合考查了指数,对数函数的单调性,充分必要条件的定义,属于综合题目,关键是分类讨论.

 

9.(5分)如果函数f(x)=e4a8533fa5b04181a8b18e6cba256956.Png(m﹣2)x2+(n﹣8)x+1(m0,n0)在区间[cc21891a7461454ba72b3b5eba849bd5.Png]上单调递减,那么mn的最大值为(  )

A.16B.18 C.25 D.9485587b34374f7fb916462b6b44e137.Png 

 

【考点】3V:二次函数的性质与图象;6D:利用导数研究函数的极值;7F:基本不等式及其应用.菁优网版权所有

【专题】51:函数的性质及应用;52:导数的概念及应用;59:不等式的解法及应用.

【分析】函数f(x)=40c2f3365b48402e8460ccc0f12dda67.Png(m﹣2)x2+(n﹣8)x+1(m0,n0)在区间[4789ad30c4a04caf91353629e03343bf.Png]上单调递减,则f′(x)0,故(m﹣2)x+n﹣80在[648eb15e0aea45129c2a1164a8c2dc2e.Png,2]上恒成立.而(m﹣2)x+n﹣8是一次函数,在[7d1845ab613b4298bff19242cf3d5b74.Png,2]上的图象是一条线段.故只须在两个端点处f′(b0c6249c5a44422fb1cce53df1475968.Png0,f′(2)0即可.结合基本不等式求出mn的最大值.

【解答】解:函数f(x)=3c5fe19b36794c238131ffa2e9b12a55.Png(m﹣2)x2+(n﹣8)x+1(m0,n0)在区间[8c20334bf00640a09e7fde89a72dc5ce.Png]上单调递减,

f′(x)0,故(m﹣2)x+n﹣80在[4a3a249413154175be1ad67fb208ba33.Png,2]上恒成立.而(m﹣2)x+n﹣8是一次函数,在[89614e422e2b48b1b4cbe30890c0c7fb.Png,2]上的图象是一条线段.故只须在两个端点处f′(0f1207840a5d4159a7f64c84004826f0.Png0,f′(2)0即可.即

c487266e0bb34c9d8fcef3a728897ef5.Png

由(2)得m0167f89a3a0d472dae42a2fa7ed30ad2.Png(12﹣n),

mnf9102e44b8aa49d1a106df41fc6a27c9.Pngn(12﹣n)c839d6478c094cb8ba23cecc311abe6d.Pngecdd2d3304364f509caf50d9364ca332.Png=18,当且仅当m=3,n=6时取得最大值,经检验m=3,n=6满足(1)和(2).

故选:B.

 

解法二:

函数f(x)=932446791f1840c69036ffe860e9c9b3.Png(m﹣2)x2+(n﹣8)x+1(m0,n0)在区间[9db86e8f87514956b9c51172834d634b.Png]上单调递减,

∴①m=2,n8

对称轴x=﹣6bce225ed3734b73a02e4cd9c5197163.Png

9eee73551cee48d4aff913128749a41f.Pngcf50546993154eae947cd328b2b6b4cc.Png

3ecca67329114ae2811fa4db0aef50db.Pnge20ffddb3c7f4544a7104512042575f7.Png

c204b1160cf440cc8e8f771e219e78aa.Png2f20dec8b11c483486b27011afcc7135.Png29e5a4176b74446f8a5038926b5b1d7c.Png

b9c3ea13bb184383989f8409b04a503c.Png

设y=d1fbb09b1dca4fa48e3853546486bf29.Png,y′=ca07df14521a4e6ba4655a97b0ad8bf6.Png

当切点为(x0,y0),k取最大值.

faaa310be3e04f8c91630b7ae0459c34.Png=﹣2.k=2x2e93e7a8acde4140a7671ed2f3669479.Png

y0=﹣2x0+12,y0=408af1b02eb84d3e9bc43dc9956d6de1.Png=2x0,可得x0=3,y0=6,

x=32

k的最大值为3×6=18

0e043940260f4640a5a42118d1c892ac.Png=﹣67f4f82c95104f3a8d7eca52929f3423.Png.,k=a9072b1e57c44766ab7032f1b19a279a.Png

y0=c406d82151e34bc182e8ff2bf87cc197.Png=3da23690ae284d9d914f67bc29535ef0.Png

2y0+x0﹣18=0,

解得:x0=9,y0=e979069202c849269c0c16810275c32a.Png

x02

不符合题意.

m=2,n=8,k=mn=16

综合得出:m=3,n=6时k最大值k=mn=18,

故选:B.

【点评】本题综合考查了函数方程的运用,线性规划问题,结合导数的概念,运用几何图形判断,难度较大,属于难题.

 

10.(5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点,与圆(x﹣5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是(  )

A.(1,3)B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 

 

【考点】J9:直线与圆的位置关系;K8:抛物线的性质.菁优网版权所有

【专题】15:综合题;2:创新题型;26:开放型;5B:直线与圆;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】先确定M的轨迹是直线x=3,代入抛物线方程可得y=±227281271674346be8c3c6f4e5960eca5.Png,所以交点与圆心(5,0)的距离为4,即可得出结论.

【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),

斜率存在时,设斜率为k,则y12=4x1,y22=4x2

5fb2ccf90aef4ee2a7a5046c32f68cc8.Png,相减,得(y1+y2)(y1﹣y2)=4(x1﹣x2),

当l的斜率存在时,利用点差法可得ky0=2,

因为直线与圆相切,所以300c314a7a484c44a9e83955fd6c0e30.Png=﹣74eb630916ff4b449240d29697dba558.Png,所以x0=3,

即M的轨迹是直线x=3.

将x=3代入y2=4x,得y2=12,﹣274c68363374c4f22a2b755292e1fedfe.Png

M在圆上,(x0﹣5)2+y02=r2r2=y02+412+4=16,

直线l恰有4条,y00,4r216,

故2r4时,直线l有2条;

斜率不存在时,直线l有2条;

所以直线l恰有4条,2r4,

故选:D.

【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系,考查点差法,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

 

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。

11.(5分)在(2x﹣1)5的展开式中,含x2的项的系数是 ﹣40 (用数字填写答案).

 

【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有

【专题】5P:二项式定理.

【分析】根据所给的二项式,利用二项展开式的通项公式写出第r+1项,整理成最简形式,令x的指数为2求得r,再代入系数求出结果.

【解答】解:根据所给的二项式写出展开式的通项,

Tr+1=c73d9bfef3934bd3a3c5e0874ef6824a.Png

要求x2的项的系数,

5﹣r=2,

r=3,

x2的项的系数是22(﹣1)3C53=﹣40.

故答案为:﹣40.

【点评】本题考查二项式定理的应用,本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项,在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具.

 

12.(5分)sin15°+sin75°的值是 550bfcd4037a49aab3c77c4b6a08543e.Png 

 

【考点】GF:三角函数的恒等变换及化简求值;GP:两角和与差的三角函数.菁优网版权所有

【专题】56:三角函数的求值.

【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可.

【解答】解:sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=724e7278d4714e50bdc6070095ba15d1.Png(sin15°cos45°+cos15°sin45°)=f36633567f9048acb29c87eb47460872.Pngsin60°=dd1d38da009f4d2991e277118414926f.Png

故答案为:b568bf76589942c7b5999fafd252775f.Png

【点评】本题考查两角和的正弦函数,三角函数的化简求值,考查计算能力.

 

13.(5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k、b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是 24 小时.

 

【考点】57:函数与方程的综合运用.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;51:函数的性质及应用.

【分析】由题意可得,x=0时,y=192;x=22时,y=48.代入函数y=ekx+b,解方程,可得k,b,再由x=33,代入即可得到结论.

【解答】解:由题意可得,x=0时,y=192;x=22时,y=48.

代入函数y=ekx+b

可得eb=192,e22k+b=48,

即有e11k=4e096c60ce674bea844bc47be4ba8542.Png,eb=192,

则当x=33时,y=e33k+b=bfc200e786ca4175b70e627c5bd8f39b.Png×192=24.

故答案为:24.

【点评】本题考查函数的解析式的求法和运用,考查运算能力,属于中档题.

 

14.(5分)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,他们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E、F分别为AB、BC的中点,设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为 5ebbee40c61a41c9b266924c82122018.Png 

4d51d3cddf754ed9bbbce840ff67280c.Png

 

【考点】LM:异面直线及其所成的角.菁优网版权所有

【专题】5G:空间角;5H:空间向量及应用.

【分析】首先以AB,AD,AQ三直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,并设正方形边长为2,M(0,y,2),从而可求出向量1e62b62543de4146a362055746d30bba.Png的坐标,由cosθ=6c19099f371a4f94aa90ffb852f34697.Png得到3ef8effe923c40c5ba0fb1446bcc0fae.Png,对函数503790963922423780240a8964ad04b7.Png求导,根据导数符号即可判断该函数为减函数,从而求出cosθ的最大值.

【解答】解:根据已知条件,AB,AD,AQ三直线两两垂直,分别以这三直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,设AB=2,则:

A(0,0,0),E(1,0,0),F(2,1,0);

M在线段PQ上,设M(0,y,2),0y2;

a8e66274136441ec936308726f6149e9.Png

cosθ=d145e04c40c44f369c33dbef57f59307.Png=ae9d9d67bd1a4f48854c2e6df820b369.Png

设f(y)=9dbd4a9bdb174b1dbadc1215572c69a4.Pngf565ef8f043b4e7dbc330d9462f1e292.Png

函数g(y)=﹣2y﹣5是一次函数,且为减函数,g(0)=﹣50;

g(y)0在[0,2]恒成立,f′(y)0;

f(y)在[0,2]上单调递减;

y=0时,f(y)取到最大值82546bd1fe5840cf9c9ef45625d72770.Png

故答案为:f9cb2c7024264cd39f6657786920227c.Png

9ce248b0510d48c1b4b3a387278e55a5.Png

【点评】考查建立空间直角坐标系,利用空间向量解决异面直线所成角的问题,异面直线所成角的概念及其范围,向量夹角的概念及其范围,以及向量夹角余弦的坐标公式,函数导数符号和函数单调性的关系.

 

15.(5分)已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中aR).对于不相等的实数x1、x2,设m=16bbba679a3f42cfa489f62d2edd4915.Png,n=b1684fb3fef3492a8eec50687507a84a.Png.现有如下命题:

对于任意不相等的实数x1、x2,都有m0;

对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2,都有n0;

对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2,使得m=n;

对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2,使得m=﹣n.

其中的真命题有 ①④ (写出所有真命题的序号).

 

【考点】2K:命题的真假判断与应用.菁优网版权所有

【专题】2:创新题型;26:开放型;51:函数的性质及应用.

【分析】运用指数函数的单调性,即可判断;由二次函数的单调性,即可判断

通过函数h(x)=x2+ax﹣2x,求出导数判断单调性,即可判断

通过函数h(x)=x2+ax+2x,求出导数判断单调性,即可判断

【解答】解:对于,由于21,由指数函数的单调性可得f(x)在R上递增,即有m0,则正确;

对于,由二次函数的单调性可得g(x)在(﹣,﹣a1e2427def0144de9ba05fdf4785de2c.Png)递减,在(﹣f360623d971147d8b91a68015cad54a6.Png+∞)递增,则n0不恒成立,

错误;

对于,由m=n,可得f(x1)﹣f(x2)=g(x1)﹣g(x2),即为g(x1)﹣f(x1)=g(x2)﹣f(x2),

考查函数h(x)=x2+ax﹣2x,h′(x)=2x+a﹣2xln2,

当a→﹣,h′(x)小于0,h(x)单调递减,则错误;

对于,由m=﹣n,可得f(x1)﹣f(x2)=﹣[g(x1)﹣g(x2],考查函数h(x)=x2+ax+2x

h′(x)=2x+a+2xln2,对于任意的a,h′(x)不恒大于0或小于0,则正确.

故答案为:①④

【点评】本题考查函数的单调性及运用,注意运用指数函数和二次函数的单调性,以及导数判断单调性是解题的关键.

 

三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.(12分)设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)记数列{6d84d2ef043541bfae09264d7348ba1f.Png}的前n项和为Tn,求使得|Tn﹣1|18ac258378854ca4a77de9c5a2e95c1c.Png成立的n的最小值.

 

【考点】8E:数列的求和.菁优网版权所有

【专题】54:等差数列与等比数列.

【分析】(Ⅰ)由已知数列递推式得到an=2an﹣1(n2),再由已知a1,a2+1,a3成等差数列求出数列首项,可得数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,则其通项公式可求;

(Ⅱ)由(Ⅰ)求出数列{cc109d83b23047f8a57cd08148ae3263.Png}的通项公式,再由等比数列的前n项和求得Tn,结合6da5d6536afa401384517e33ad29d5b9.Png求解指数不等式得n的最小值.

【解答】解:(Ⅰ)由已知Sn=2an﹣a1,有

an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1 (n2),

即an=2an﹣1(n2),

从而a2=2a1,a3=2a2=4a1

a1,a2+1,a3成等差数列,

a1+4a1=2(2a1+1),解得:a1=2.

数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.故2ed7565486a64a21891c1f5eeebba960.Png

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:6f9841e37d334b8a93c10a4214ba99cf.Png

36450de880ad4fe88cbda6cff97fd63d.Png

37bcb6cfbd68410cbcea74d763e95cea.Png,得a0cbc7535e974c81b871e223f9c78c16.Png,即2n1000.

29=51210001024=210

n10.

于是,使|Tn﹣1|5c40ad4e41a84b9fbbedcbe5180023e8.Png成立的n的最小值为10.

【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.

 

17.(12分)某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人,女生中随机抽取3人组成代表队.

(Ⅰ)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;

(Ⅱ)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.

 

【考点】CG:离散型随机变量及其分布列;CH:离散型随机变量的期望与方差.菁优网版权所有

【专题】5I:概率与统计.

【分析】(Ⅰ)求出A中学至少有1名学生入选代表队的对立事件的概率,然后求解概率即可;

(Ⅱ)求出X表示参赛的男生人数的可能值,求出概率,得到X的分布列,然后求解数学期望.

【解答】解:(Ⅰ)由题意,参加集训的男、女学生共有6人,参赛学生全从B中抽出(等价于A中没有学生入选代表队)的概率为:9a1a2d830bf345e2adad8c87e49fecbb.Png=3b2373734df342e3a087be4fed80575b.Png,因此A中学至少有1名学生入选代表队的概率为:1﹣78203bbed2df4f12b7dc792fa4b2255d.Png=a09f65fb4c694f1c8fa233babd9755b1.Png

(Ⅱ)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,X表示参赛的男生人数,

则X的可能取值为:1,2,3,

P(X=1)=966ead60ed744d16a12432498fcca790.Png=1b2c7daec43d48a29216a05ca9c8c309.Png

P(X=2)=da6ccf078644412683fe25d32ffec1a0.Png=e614aa2db6184789b80a1e57944babf0.Png

P(X=3)=59583efb4a7c468fb7b0469d51b1b5ae.Png=223a977fa109431da0fc242d0ca184c8.Png

X的分布列:

X

1

2

3

P

 2d83e77baeea41c7b18af9c8197d1208.Png

 a3851c990bc345aab7561e315e7ce01c.Png

 65574471caef491fabe581b49c01901f.Png

和数学期望EX=1×0ad601bf151e4c149af0404a5535222b.Png=2.

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列,期望的求法,考查古典概型概率的求法,考查分析问题解决问题的能力.

 

18.(12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中,设BC的中点为M、GH的中点为N.

(Ⅰ)请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);

(Ⅱ)证明:直线MN平面BDH;

(Ⅲ)求二面角A﹣EG﹣M的余弦值.

19217c16e20b45889699a132da185457.Png

 

【考点】LS:直线与平面平行;MJ:二面角的平面角及求法.菁优网版权所有

【专题】5F:空间位置关系与距离;5G:空间角.

【分析】(Ⅰ)根据展开图和直观图之间的关系进行判断即可;

(Ⅱ)利用线面平行的判定定理即可证明直线MN平面BDH;

(Ⅲ)法一:利用定义法求出二面角的平面角进行求解.

法二:建立坐标系,利用向量法进行求解即可.

【解答】解:(Ⅰ)F、G、H的位置如图;

证明:(Ⅱ)连接BD,设O是BD的中点,

BC的中点为M、GH的中点为N,

OMCD,OM=50a280d2eca1473b823c3aa06c13d02a.PngCD,

HNCD,HN=04321a749b2f44e092fd12e8eaba4d83.PngCD,

OMHN,OM=HN,

即四边形MNHO是平行四边形,

MNOH,

MN平面BDH;OH面BDH,

直线MN平面BDH;

(Ⅲ)方法一:

连接AC,过M作MHAC于P,

则正方体ABCD﹣EFGH中,ACEG,

MPEG,

过P作PKEG于K,连接KM,

EG平面PKM

则KMEG,

PKM是二面角A﹣EG﹣M的平面角,

设AD=2,则CM=1,PK=2,

在RtCMP中,PM=CMsin45°=94ad1fa1e93d4634b1b13415c3855e95.Png

在RtPKM中,KM=baa37ee7b60b4442bf3e3fecd71e6960.Png=3eb41d27985143d88f1784e1e726ded7.Png

cosPKM=d4ca0a48414f40be8f8109439190dfa6.Png

即二面角A﹣EG﹣M的余弦值为16f53a48be8c43e3b17334bbb54300bf.Png

方法二:以D为坐标原点,

77b3916a50b040959d6ff00b62100a5f.Png

分别为DA,DC,DH方向为x,y,z轴建立空间坐标系如图:

设AD=2,则M(1,2,0),G(0,2,2),E(2,0,2),O(1,1,0),

7e29cdd7190f43648a1298fbba2d2014.Png=(2,﹣2,0),ba91ae5a1f704037bf9cf3a2571346ad.Png

设平面EGM的法向量为d9d936d3d65341cf9c90c1486e780013.Png=(x,y,z),

30960d4db78e42ea8e8c22dccd555453.Png,即f690dc72cb58436b8780d669ed7559b9.Png,令x=2,得4bca3d9767ed46c48693774bfc83b027.Png=(2,2,1),

在正方体中,DO平面AEGC,

c0b47b9fb0864c909aab6e42bf1928a5.Png=b8ad2a3c3f14416d8e521f7eeac88e11.Png=(1,1,0)是平面AEG的一个法向量,

则cosdac260e2a58c4b4f97dafcd23f64649c.Png=662eb630447e4e97be5343e4d2b63c36.Png=739663478d744211bd4845ae440c1ec2.Png=005a5372bb2f4171ac00cf0241cdb08d.Png=48b9f33d33914a87986f67c7191f99b5.Png

二面角A﹣EG﹣M的余弦值为e4c4104b53724c45997bcb43622863fa.Png

7a40d796e9704252898c99eefd1febf6.Png

【点评】本题主要考查简单空间图形的直观图,空间线面平行的判定和性质,空间面面夹角的计算,考查空间想象能力,推理能力,运算求解能力.

 

19.(12分)如图,A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角.

(Ⅰ)证明:tana42a5b0c09764690b452701414ad2351.Png=5bbe59d8e04e48a486ca8c3de227d4fc.Png

(Ⅱ)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan7f69ede78a3545db8b05a338bd623f6b.Png+tan9fec6ecde0ca4073b1749fdb63b7a923.Png+tanac27f93908a5421394416dbcbedc9f81.Png+tan82b0885e7dc84ba5aa506e5668247f2b.Png的值.

67f68c69102947789a741c2309dd7af6.Png

 

【考点】GJ:三角函数恒等式的证明.菁优网版权所有

【专题】57:三角函数的图像与性质;58:解三角形.

【分析】(Ⅰ)直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可.

(Ⅱ)通过A+C=180°,得C=180°﹣A,D=180°﹣B,利用(Ⅰ)化简tanb2d90a79f9e2491ca550114e152d96fe.Png+tan664d5708737b4283a4cee18e896f01c6.Png+tan5e38c1bf61f44152bc304581add1b727.Png+tan23182f9ec6df4971ab5907af9f086c42.Png=0357cb6834ee47c7a3ff170ef139ffe5.Png,连结BD,在ABD中,利用余弦定理求出sinA,连结AC,求出sinB,然后求解即可.

【解答】证明:(Ⅰ)tan3c8847bbd57544ea944efc0a3a06e80a.Png=f1ae779f9a4044a3a4ff08881fa1c2e4.Png=a41795785fac4d7bb286f2bee917b20c.Png=3f506cc21ec549a7bd129d938eaaf0fc.Png.等式成立.

(Ⅱ)由A+C=180°,得C=180°﹣A,D=180°﹣B,由(Ⅰ)可知:tan00dc8d5ebd3643f6998123b86eee966a.Png+tan6779f9c3e0c246098aa80a24e38016ad.Png+tan295dec2937bb40e0bf9ad8ab011078b6.Png+tanaa19c3abb30e41a2b52332b60dcb7f77.Png=9cfa433e8b444f60a50a465cf0567e7b.Png=36ad8df154dc460cbd9b39809ad0bfc1.Png,连结BD,在ABD中,有BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,

BCD中,有BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC,

所以AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC,

则:cosA=06666f70860c468eb4a64593c84c3832.Png=efc8cd13986549a5bf67d6549acf31cf.Png=84192d368824464ebf64aa846b2a3b93.Png

于是sinA=14c424cf013c45dc8be43b9efa97a31b.Png=424bd8a06a4c482fb2240bf69069db88.Png

连结AC,同理可得:cosB=35e955ee48e849bb8ce772becdf415eb.Png=a248e7a817754c5fa4a85d2c94300300.Png=db7f347049154b1cbc1790235f247532.Png

于是sinB=0a9e8b5c43b3482bb461793896c1f761.Png=1346eef27c084c31baee3b1fe59f37d9.Png

所以tan2abc1b65695645f7ace3aab59c91e0ee.Png+tanfc05533392884740b728c2c30354910f.Png+tan6eedaf1567e34042916a681ed1041b13.Png+tand05638e8a3044972a51811422d3c8e1f.Png=32b2142476004d40b728942c13ac933e.Png=fbf8e7fa1a5a4059a6efa5606afffb5f.Png=cd488087c91c4b649ac129ba1b240745.Png

62999031cd0046919bb52a94df2883e0.Png

【点评】本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理.简单的三角恒等变换,考查函数与方程的思想,转化与化归思想的应用.

 

20.(13分)如图,椭圆E:ee8abc7a89134b7f935d9bd865ea2adc.Png的离心率是43ce4064d4c64264986baa8b50f8ef6e.Png,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A、B两点,当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为2d6c5c5d768e842d79d8a99b770726b76.Png

(Ⅰ)求椭圆E的方程;

(Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中,是否存在与点P不同的定点Q,使得9cdeebae52534955ac4e242660427959.Png恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

278e6f93129b490aa23ee0d1d4b832a8.Png

 

【考点】K3:椭圆的标准方程;KH:直线与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有

【专题】2:创新题型;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】(Ⅰ)通过直线l平行于x轴时被椭圆E截得的线段长为20ae727aac403445cbadd18022effc5af.Png及离心率是b2ae77f1b67346cdba0b8500c3c02cbc.Png,计算即得结论;

(Ⅱ)通过直线l与x轴平行、垂直时,可得若存在不同于点P的定点Q满足条件,则Q点坐标只能是(0,2).然后分直线l的斜率不存在、存在两种情况,利用韦达定理及直线斜率计算方法,证明对任意直线l,均有3120814242c64d828e6fd7166e497b53.Png即可.

【解答】解:(Ⅰ)直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为292feb5b7397c461d91525151888720b9.Png

点(46fa508d48da45a0b7e57f57faa0f700.Png,1)在椭圆E上,

离心率是6d99d4b034584c0da645046fb4adb2fa.Png

07814e5ed75440c4a3dca54e962c234c.Png,解得a=2,b=636a36764d294e84a6d5081edf112b9c.Png

椭圆E的方程为:6b5bd510335340d295e5d57337d73174.Png+2ae87ce822ca49d7af04abd4c32539eb.Png=1;

(Ⅱ)结论:存在与点P不同的定点Q(0,2),使得a4bcf4aaa43349a1b5b36f69d2b52d4d.Png恒成立.

理由如下:

当直线l与x轴平行时,设直线l与椭圆相交于C、D两点,

如果存在定点Q满足条件,则有ed652f2d9106476998c6c644384d6e5f.Png=934fb9841fba424e8f98e0115575e4c8.Png=1,即|QC|=|QD|

Q点在直线y轴上,可设Q(0,y0).

当直线l与x轴垂直时,设直线l与椭圆相交于M、N两点,

则M、N的坐标分别为(0,e312929ccb034b238e406606cdeb96dd.Png)、(0,﹣b7c930e79077453681ffd46691481456.Png),

781801482d0e411e8a2e684f191c69db.Png=270639f3cd0c4620bfb94cba7362c989.Png0e2ac25c0b7f465a8292e9a4da4473b5.Png=6a098ae0ec014dd59520c94dd3046326.Png,解得y0=1或y0=2.

若存在不同于点P的定点Q满足条件,则Q点坐标只能是(0,2).

下面证明:对任意直线l,均有90c5f9d539f042ad902e67190317fbf0.Png

当直线l的斜率不存在时,由上可知,结论成立.

当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+1,

A、B的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),

联立c7e6f5225fc54e9f9d8482ce1da74734.Png,消去y并整理得:(1+2k2)x2+4kx﹣2=0,

∵△=(4k)2+8(1+2k20,

x1+x2=﹣10d1f2a1b17041c2a32d13f4700cd942.Png,x1x2=﹣8b1f10e9f9544af4ae5f6241085f5700.Png

42dcd3580396491baa799cc4ce4ba8da.Png+537991b47ac042f886f34f1c4871a31a.Png=12a55d6446f74eb3999f1e2d43eacb72.Png=2k,

已知点B关于y轴对称的点B′的坐标为(﹣x2,y2),

又kAQ=e982dfed870143629eb4d5732df3c94d.Png=4edbda479bf64f1dac2660a3d5a1ea21.Png=k﹣45d4ac73a8e04db7afc968d5fb1799de.Png,kQB′=bda77a2dfb324a0eb6d00bb051480367.Png=23e3a8d868334588a1df98a1c9e0220f.Png=﹣k+71d2d3fb7ff54f0098e6b993388114e8.Png=k﹣4d5962848b674ef6bd0537e17d8ed9da.Png

kAQ=kQB′,即Q、A、B′三点共线,

ed2e0488c52b48f59fb337d68ff01d58.Png=656a11bc99e94fc6b3b0895b003a0982.Png=15ef0ba627c649f18359ef9c2fba48b3.Png=96a19d934d894b2aa5f7246f9c96eccd.Png

故存在与点P不同的定点Q(0,2),使得d0492411f40543aaaee0d6a3c0bca9f1.Png恒成立.

29d10d9ed8434f15ae05d082c0896be2.Png

【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想,注意解题方法的积累,属于难题.

 

21.(14分)已知函数f(x)=﹣2(x+a)lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a,其中a0.

(Ⅰ)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;

(Ⅱ)证明:存在a(0,1),使得f(x)0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.

 

【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6E:利用导数研究函数的最值.菁优网版权所有

【专题】2:创新题型;53:导数的综合应用.

【分析】(Ⅰ)求出函数f(x)的定义域,把函数f(x)求导得到g(x)再对g(x)求导,得到其导函数的零点,然后根据导函数在各区间段内的符号得到函数g(x)的单调期间;

(Ⅱ)由f(x)的导函数等于0把a用含有x的代数式表示,然后构造函数φ(x)=d1102680670f4aed921c69d982d8bb60.Pngx26005f94144ac42e0984caf6f7127a7a9.Pnge5c9015d90be4bbfa4fe15f55c68ef3d.Png,由函数零点存在定理得到x0(1,e),使得φ(x0)=0.令857f7e0b969b439e9ade3f3839e324fa.Png,u(x)=x﹣1﹣lnx(x1),利用导数求得a0(0,1),然后进一步利用导数说明当a=a0时,若x(1,+∞),有f(x)0,即可得到存在a(0,1),使得f(x)0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.

【解答】解:(Ⅰ)由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),

g(x)=d2770aa904c34b268ce2380f7504b1d0.Png

2a0e6efef4014544bc68962e1692b78f.Png

当0a27a2b3fb9c0c488f9e284f6d75c07351.Png时,g(x)在6ccde6a2f01046ca94889242abda13af.Png上单调递增,

在区间4b2bb9538dc84cb9872c785200786045.Png上单调递减;

当a4bfbfb70a3eb41aab38766b63363ae14.Png时,g(x)在(0,+∞)上单调递增.

(Ⅱ)由2a2a7ca7a928491793dbc505fdb1f481.Png=0,解得0bb1633b62be444aad6ca329548f5fe3.Png

令φ(x)=e02c039c8496459894a82f950be643ab.Pngx2cbfd6a67ed344380ac41c7ae2a189384.Png208160186fc7452e900fa959bdb5c751.Png

则φ(1)=10,φ(e)=53829220160f43029e0127292600925f.Png

故存在x0(1,e),使得φ(x0)=0.

18e340a06f9944fb84e00b30745dd340.Png,u(x)=x﹣1﹣lnx(x1),

aaf28e5090d1493ab2844d247a2fc279.Png知,函数u(x)在(1,+∞)上单调递增.

659f48575fac49cdaeba92b0051f00c2.Png

即a0(0,1),

当a=a0时,有f′(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0.

由(Ⅰ)知,f′(x)在(1,+∞)上单调递增,

故当x(1,x0)时,f′(x)0,从而f(x)f(x0)=0;

当x(x0+∞)时,f′(x)0,从而f(x)f(x0)=0.

当x(1,+∞)时,f(x)0.

综上所述,存在a(0,1),使得f(x)0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.

【点评】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识,考查了函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法,是压轴题.

来源: 四川省地方志工作办公室
终审:何晓波
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