2016年四川省高考数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（　　）

A．3B．4 C．5 D．6 

2．（5分）设i为虚数单位，则（x+i）⁶的展开式中含x⁴的项为（　　）

A．﹣15x⁴B．15x⁴ C．﹣20ix⁴ D．20ix⁴ 

3．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（　　）

A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度 

C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度 

4．（5分）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（　　）

A．24B．48 C．60 D．72 

5．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（　　）

（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）

A．2018年B．2019年 C．2020年 D．2021年 

6．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（　　）

A．9B．18 C．20 D．35 

7．（5分）设p：实数x，y满足（x﹣1）²+（y﹣1）²≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（　　）

A．必要不充分条件B．充分不必要条件 

C．充要条件D．既不充分也不必要条件 

8．（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y²=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（　　）

A．B． C． D．1 

9．（5分）设直线l₁，l₂分别是函数f（x）=图象上点P₁，P₂处的切线，l₁与l₂垂直相交于点P，且l₁，l₂分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（　　）

A．（0，1）B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞） 

10．（5分）在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||²的最大值是（　　）

A．B． C． D． 

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．（5分）﹣=　   　．

12．（5分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是　   　．

13．（5分）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是　   　．

14．（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4^x，则f（﹣）+f（2）=　   　．

15．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：

①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；

②单位圆的“伴随曲线”是它自身；

③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；

④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．

其中的真命题是　   　（写出所有真命题的序列）．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）求直方图中a的值；

（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．

17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．

（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；

（Ⅱ）若b²+c²﹣a²=bc，求tanB．

18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．

（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．

19．（12分）已知数列{a_n}的首项为1，S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n+1=qS_n+1，其中q＞0，n∈N^*．

（Ⅰ）若2a₂，a₃，a₂+2成等差数列，求a_n的通项公式；

（Ⅱ）设双曲线x²﹣=1的离心率为e_n，且e₂=，证明：e₁+e₂+⋅⋅⋅+e_n＞．

20．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．

（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；

（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|²=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．

21．（14分）设函数f（x）=ax²﹣a﹣lnx，其中a∈R．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞﹣e^1﹣x在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）．

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2016年四川省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（　　）

A．3B．4 C．5 D．6 

【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有

【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．

【分析】由A与Z，求出两集合的交集，即可作出判断．

【解答】解：∵A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，

∴A∩Z={﹣2，﹣1，0，1，2}，

则A∩Z中元素的个数是5，

故选：C．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．（5分）设i为虚数单位，则（x+i）⁶的展开式中含x⁴的项为（　　）

A．﹣15x⁴B．15x⁴ C．﹣20ix⁴ D．20ix⁴ 

【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有

【专题】38：对应思想；4R：转化法；5P：二项式定理．

【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案．

【解答】解：（x+i）⁶的展开式中含x⁴的项为x⁴•i²=﹣15x⁴，

故选：A．

【点评】本题考查二项式定理，深刻理解二项展开式的通项公式是迅速作答的关键，属于中档题．

3．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（　　）

A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度 

C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度 

【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有

【专题】57：三角函数的图像与性质．

【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，

故选：D．

【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．

4．（5分）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（　　）

A．24B．48 C．60 D．72 

【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有

【专题】12：应用题；34：方程思想；49：综合法；5O：排列组合．

【分析】用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填5个空，要求个位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从3个奇数中任选1个填入，其它4个数在4个位置上全排列即可．

【解答】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5中的一个数，共有3种排法，

然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有=24种排法．

由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3×24=72个．

故选：D．

【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，此题是有条件限制排列，解答的关键是做到合理的分布，是基础题．

5．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（　　）

（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）

A．2018年B．2019年 C．2020年 D．2021年 

【考点】88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用．

【分析】设第n年开始超过200万元，可得130×（1+12%）^n﹣2015＞200，两边取对数即可得出．

【解答】解：设第n年开始超过200万元，

则130×（1+12%）^n﹣2015＞200，

化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，

n﹣2015＞=3.8．

取n=2019．

因此开始超过200万元的年份是2019年．

故选：B．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

6．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（　　）

A．9B．18 C．20 D．35 

【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．

【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=﹣1时，不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为18．

【解答】解：初始值n=3，x=2，程序运行过程如下表所示：

v=1

i=2 v=1×2+2=4

i=1 v=4×2+1=9

i=0 v=9×2+0=18

i=﹣1 跳出循环，输出v的值为18．

故选：B．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的i，v的值是解题的关键，属于基础题．

7．（5分）设p：实数x，y满足（x﹣1）²+（y﹣1）²≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（　　）

A．必要不充分条件B．充分不必要条件 

C．充要条件D．既不充分也不必要条件 

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；7C：简单线性规划．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．

【分析】画出p，q表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案．

【解答】解：（x﹣1）²+（y﹣1）²≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；

满足的可行域如图有阴影部分所示，

故p是q的必要不充分条件，

故选：A．

【点评】本题考查的知识是线性规划的应用，圆的标准方程，充要条件，难度中档．

8．（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y²=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（　　）

A．B． C． D．1 

【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有

【专题】34：方程思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】由题意可得F（，0），设P（，y₀），要求k_OM的最大值，设y₀＞0，运用向量的加减运算可得=+=（+，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．

【解答】解：由题意可得F（，0），设P（，y₀），

显然当y₀＜0，k_OM＜0；当y₀＞0，k_OM＞0．

要求k_OM的最大值，设y₀＞0，

则=+=+=+（﹣）

=+=（+，），

可得k_OM==≤=，

当且仅当y₀²=2p²，取得等号．

故选：C．

【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．

9．（5分）设直线l₁，l₂分别是函数f（x）=图象上点P₁，P₂处的切线，l₁与l₂垂直相交于点P，且l₁，l₂分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（　　）

A．（0，1）B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞） 

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有

【专题】15：综合题；33：函数思想；49：综合法；53：导数的综合应用．

【分析】设出点P₁，P₂的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l₁与l₂的斜率，由两直线垂直求得P₁，P₂的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．

【解答】解：设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）（0＜x₁＜1＜x₂），

当0＜x＜1时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）=，

∴l₁的斜率，l₂的斜率，

∵l₁与l₂垂直，且x₂＞x₁＞0，

∴，即x₁x₂=1．

直线l₁：，l₂：．

取x=0分别得到A（0，1﹣lnx₁），B（0，﹣1+lnx₂），

|AB|=|1﹣lnx₁﹣（﹣1+lnx₂）|=|2﹣（lnx₁+lnx₂）|=|2﹣lnx₁x₂|=2．

联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，

∴|AB|•|x_P|==．

∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x₁＜1，

∴，则，

∴．

∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．

故选：A．

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题．

10．（5分）在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||²的最大值是（　　）

A．B． C． D． 

【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；48：分析法；5A：平面向量及应用．

【分析】由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC的边长，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，求得B，C的坐标，再设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．

【解答】解：由==，可得D为△ABC的外心，

又•=•=•，可得

•（﹣）=0，•（﹣）=0，

即•=•=0，

即有⊥，⊥，可得D为△ABC的垂心，

则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．

由•=﹣2，即有||•||cos120°=﹣2，

解得||=2，△ABC的边长为4cos30°=2，

以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，

可得B（3，﹣），C（3，），D（2，0），

由=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），

由=，可得M为PC的中点，即有M（，），

则||²=（3﹣）²+（+）²

=+=

=，

当sin（θ﹣）=1，即θ=时，取得最大值，且为．

故选：B．

【点评】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．（5分）﹣=　　．

【考点】GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子的值．

【解答】解：cos²﹣sin²

=cos（2×）=cos=．

故答案为：

【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．

12．（5分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是　　．

【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．

【分析】由对立事件概率计算公式求出这次试验成功的概率，从而得到在2次试验中成功次数X～B（2，），由此能求出在2次试验中成功次数X的均值E（X）．

【解答】解：∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，

∴这次试验成功的概率p=1﹣（）²=，

∴在2次试验中成功次数X～B（2，），

∴在2次试验中成功次数X的均值E（X）==．

故答案为：．

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．

13．（5分）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是　　．

【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．

【分析】由已知结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为2，高为1，棱锥的高为1，进而得到答案．

【解答】解：∵三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，

结合给定的三棱锥的正视图，

可得：三棱锥的底面是底为2，高为1，

棱锥的高为1，

故棱锥的体积V=×（×2×1）×1=，

故答案为：

【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．

14．（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4^x，则f（﹣）+f（2）=　﹣2　．

【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3T：函数的值．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．

【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可．

【解答】解：∵函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4^x，

∴f（2）=f（0）=0，

f（﹣）=f（﹣+2）=f（﹣）=﹣f（）=﹣=﹣=﹣2，

则f（﹣）+f（2）=﹣2+0=﹣2，

故答案为：﹣2．

【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键．

15．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：

①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；

②单位圆的“伴随曲线”是它自身；

③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；

④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．

其中的真命题是　②③　（写出所有真命题的序列）．

【考点】2K：命题的真假判断与应用．菁优网版权所有

【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5L：简易逻辑．

【分析】利用新定义，对4个命题分别进行判断，即可得出结论．

【解答】解：①若点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），则点A′（，）的“伴随点”是点（﹣x，﹣y），故不正确；

②由①可知，单位圆的“伴随曲线”是它自身，故正确；

③若曲线C关于x轴对称，点A（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y），“伴随点”是点A′（﹣，），则其“伴随曲线”C′关于y轴对称，故正确；

④设直线方程为y=kx+b（b≠0），点A（x，y）的“伴随点”是点A′（m，n），则

∵点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），∴，∴x=﹣，y=

∵m=，∴代入整理可得n﹣1=0表示圆，故不正确．

故答案为：②③．

【点评】此题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义是解题的关键．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）求直方图中a的值；

（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．

【考点】B8：频率分布直方图；BE：用样本的数字特征估计总体的数字特征．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；27：图表型；5I：概率与统计．

【分析】（Ⅰ）根据各组的累积频率为1，构造方程，可得a值；

（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数；

（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率及月均用水量低于3吨的频率，进而可得x值．

【解答】解：（Ⅰ）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，

∴a=0.3；

（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12，

由30×0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万；

（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73＜85%；

月均用水量低于3吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88＞85%；

则x=2.5+0.5×=2.9吨

【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于基础题．

17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．

（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；

（Ⅱ）若b²+c²﹣a²=bc，求tanB．

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；58：解三角形．

【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．

（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可．

【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，

∴由正弦定理得：，

∴=，

∵sin（A+B）=sinC．

∴整理可得：sinAsinB=sinC，

（Ⅱ）解：b²+c²﹣a²=bc，由余弦定理可得cosA=．

sinA=，=

+==1，=，

tanB=4．

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．

18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．

（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．

【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有

【专题】31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．

【分析】（I）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可．

（II）如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．

【解答】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD，

∵BC=CD=AD，∴ED=BC，

∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．

∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，

∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE，

∵M∈AB，AB⊂平面PAB，

∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．

（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M，

∴AP⊥平面ABCD．

∴CD⊥PD，PA⊥AD．

因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．

∴PA=AD．

不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），

∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），

设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．

令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．

设直线PA与平面PCE所成角为θ，

则sinθ====．

【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．

19．（12分）已知数列{a_n}的首项为1，S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n+1=qS_n+1，其中q＞0，n∈N^*．

（Ⅰ）若2a₂，a₃，a₂+2成等差数列，求a_n的通项公式；

（Ⅱ）设双曲线x²﹣=1的离心率为e_n，且e₂=，证明：e₁+e₂+⋅⋅⋅+e_n＞．

【考点】8E：数列的求和；8O：数列与解析几何的综合．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．

【分析】（Ⅰ）由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列{a_n}为首项等于1、公比为q的等比数列，再根据2a₂，a₃，a₂+2成等差数列求得公比q的值，可得{a_n}的通项公式．

（Ⅱ）利用双曲线的定义和简单性质求得e_n=，根据e₂==，求得q的值，可得{a_n}的解析式，再利用放缩法可得∴e_n=＞，从而证得不等式成立．

【解答】解：（Ⅰ）∵S_n+1=qS_n+1 ①，∴当n≥2时，S_n=qS_n﹣1+1 ②，两式相减可得a_n+1=q•a_n，

即从第二项开始，数列{a_n}为等比数列，公比为q．

当n=1时，∵数列{a_n}的首项为1，∴a₁+a₂=S₂=q•a₁+1，∴a₂ =a₁•q，

∴数列{a_n}为等比数列，公比为q．

∵2a₂，a₃，a₂+2成等差数列，∴2a₃ =2a₂+a₂+2，∴2q²=2q+q+2，求得q=2，或 q=﹣．

根据q＞0，故取q=2，∴a_n=2^n﹣1，n∈N^*．

（Ⅱ）证明：设双曲线x²﹣=1的离心率为e_n，

∴e_n==．

由于数列{a_n}为首项等于1、公比为q的等比数列，

∴e₂===，q=，

∴a_n=，∴e_n==＞=．

∴e₁+e₂+⋅⋅⋅+e_n＞1+++…+==，原不等式得证．

【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，用放缩法进行数列求和，双曲线的简单性质，属于难题．

20．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．

（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；

（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|²=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．

【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有

【专题】31：数形结合；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（Ⅰ）根据椭圆的短轴端点C与左右焦点F₁、F₂构成等腰直角三角形，结合直线l与椭圆E只有一个交点，

利用判别式△=0，即可求出椭圆E的方程和点T的坐标；

（Ⅱ）【解法一】作伸缩变换，令x′=x，y′=y，把椭圆E变为圆E′，利用圆幂定理求出λ的值，

从而证明命题成立．

【解法二】设出点P的坐标，根据l′∥OT写出l′的参数方程，代入椭圆E的方程中，整理得出方程，

再根据参数的几何意义求出|PT|²、|PA|和|PB|，由|PT|²=λ|PA|•|PB|求出λ的值．

【解答】解：（Ⅰ）设短轴一端点为C（0，b），左右焦点分别为F₁（﹣c，0），

F₂（c，0），其中c＞0，则c²+b²=a²；

由题意，△F₁F₂C为直角三角形，

∴=+，解得b=c=a，

∴椭圆E的方程为+=1；

代入直线l：y=﹣x+3，可得3x²﹣12x+18﹣2b²=0，

又直线l与椭圆E只有一个交点，则△=12²﹣4×3（18﹣2b²）=0，解得b²=3，

∴椭圆E的方程为+=1；

由b²=3，解得x=2，则y=﹣x+3=1，所以点T的坐标为（2，1）；

（Ⅱ）【解法一】作伸缩变换，令x′=x，y′=y，

则椭圆E变为圆E′：x′²+y′²=6，

设此时P、A、B、T对应的点分别为P′、A′、B′、T′，

如图所示；

则==，

==，

两式相比，得：=，

由圆幂定理得，|P′T′|²=|P′A′|•|P′B′|，

所以=，即λ=，原命题成立．

【解法二】设P（x₀，3﹣x₀）在l上，由k_OT=，l′平行OT，

得l′的参数方程为，

代入椭圆E中，得+2=6，

整理得2t²+4t+﹣4x₀+4=0；

设两根为t_A，t_B，则有t_A•t_B=；

而|PT|²==2，

|PA|==|t_A|，

|PB|==|t_B|，

且|PT|²=λ|PA|•|PB|，

∴λ===，

即存在满足题意的λ值．

【另解】，判断出c=b，e=，经仿射变换=×

E→⊙O′：x′²+y′²=a²；

l_PT→l_P′T′：x+y﹣3=0；

∴=a=，b=a=，

∴E：+=1；

设T（x₀，y₀），PT为切线也是极线方程．

：+=1⇔x₀x+2y₀y﹣6=0⇔2x+2y﹣6=0，

∴T（2，1）；

证明：由图知，根据圆幂定理：

|P′T′|²=|P′A′|•|P′B′|，K_OT=，K_O′T′=，

K_PT=﹣1，K_P′T′=﹣，

∴|PT|²=λ|PA|•|PB|，

∴==，

又==，

∴对比λ=，原命题成立．

【点评】本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了参数方程的应用问题，是难题．

21．（14分）设函数f（x）=ax²﹣a﹣lnx，其中a∈R．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞﹣e^1﹣x在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）．

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；32：分类讨论；4M：构造法；53：导数的综合应用．

【分析】（I）利用导数的运算法则得出f′（x），通过对a分类讨论，利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性；

（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣+e^1﹣x=ax²﹣lnx﹣+e^1﹣x﹣a，可得g（1）=0，从而g′（1）≥0，解得得a，

又，当a时，F′（x）=2a+≥+e^1﹣x，可得F′（x）在a时恒大于0，即F（x）在x∈（1，+∞）单调递增．由F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0，可得g（x）也在x∈（1，+∞）单调递增，进而利用g（x）＞g（1）=0，可得g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0，综合可得a所有可能取值．

【解答】解：（Ⅰ）由题意，f′（x）=2ax﹣=，x＞0，

①当a≤0时，2ax²﹣1≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减．

②当a＞0时，f′（x）=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，

当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，

故f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．

（Ⅱ）原不等式等价于f（x）﹣+e^1﹣x＞0在x∈（1．+∞）上恒成立，

一方面，令g（x）=f（x）﹣+e^1﹣x=ax²﹣lnx﹣+e^1﹣x﹣a，

只需g（x）在x∈（1．+∞）上恒大于0即可，

又∵g（1）=0，故g′（x）在x=1处必大于等于0．

令F（x）=g′（x）=2ax﹣+﹣e^1﹣x，g′（1）≥0，可得a．

另一方面，当a时，F′（x）=2a+≥1+=+e^1﹣x，

∵x∈（1，+∞），故x³+x﹣2＞0，又e^1﹣x＞0，故F′（x）在a时恒大于0．

∴当a时，F（x）在x∈（1，+∞）单调递增．

∴F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0，故g（x）也在x∈（1，+∞）单调递增．

∴g（x）＞g（1）=0，即g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0．

综上，a．

【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了计算能力和转化思想，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．