2017年四川省高考数学试卷

（理科）（新课标Ⅲ）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={（x，y）|x²+y²=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（　　）

A．3B．2 C．1 D．0 

2．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（　　）

A．B． C． D．2 

3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是（　　）

根据该折线图，下列结论错误的是（　　）

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

4．（5分）（x+y）（2x﹣y）⁵的展开式中的x³y³系数为 （　　）

A．﹣80B．﹣40 C．40 D．80 

5．（5分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为（　　）

A．﹣=1B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 

6．（5分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（　　）

A．f（x）的一个周期为﹣2π

B．y=f（x）的图象关于直线x=对称

C．f（x+π）的一个零点为x=

D．f（x）在（，π）单调递减

7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（　　）

A．5B．4 C．3 D．2 

8．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　）

A．πB． C． D． 

9．（5分）等差数列{a_n}的首项为1，公差不为0．若a₂，a₃，a₆成等比数列，则{a_n}前6项的和为（　　）

A．﹣24B．﹣3 C．3 D．8 

10．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A₁，A₂，且以线段A₁A₂为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（　　）

A．B． C． D． 

11．（5分）已知函数f（x）=x²﹣2x+a（e^x﹣1+e^﹣x+1）有唯一零点，则a=（　　）

A．﹣B． C． D．1 

12．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（　　）

A．3B．2 C． D．2 

二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为　   　．

14．（5分）设等比数列{a_n}满足a₁+a₂=﹣1，a₁﹣a₃=﹣3，则a₄=　   　．

15．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范围是　   　．

16．（5分）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所成角的最小值为45°；

④直线AB与a所成角的最小值为60°；

其中正确的是　   　．（填写所有正确结论的编号）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。

17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2．

（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．

20．（12分）已知抛物线C：y²=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．

（1）证明：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．

21．（12分）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．

（1）若f（x）≥0，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l₁的参数方程为，（t为参数），直线l₂的参数方程为，（m为参数）．设l₁与l₂的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l₃：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l₃与C的交点，求M的极径．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．

（1）求不等式f（x）≥1的解集；

（2）若不等式f（x）≥x²﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．

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2017年四川省高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={（x，y）|x²+y²=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（　　）

A．3B．2 C．1 D．0 

【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有

【专题】5J：集合．

【分析】解不等式组求出元素的个数即可．

【解答】解：由，解得：或，

∴A∩B的元素的个数是2个，

故选：B．

【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题．

2．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（　　）

A．B． C． D．2 

【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．

【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．

【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），z=i+1．

则|z|=．

故选：C．

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是（　　）

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

【考点】2K：命题的真假判断与应用；B9：频率分布折线图、密度曲线．菁优网版权所有

【专题】27：图表型；2A：探究型；5I：概率与统计．

【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．

【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：

月接待游客量逐月有增有减，故A错误；

年接待游客量逐年增加，故B正确；

各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；

各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；

故选：A．

【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，属于基础题．

4．（5分）（x+y）（2x﹣y）⁵的展开式中的x³y³系数为 （　　）

A．﹣80B．﹣40 C．40 D．80 

【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有

【专题】34：方程思想；5P：二项式定理．

【分析】（2x﹣y）⁵的展开式的通项公式：T_r+1=（2x）^5﹣r（﹣y）^r=2^5﹣r（﹣1）^rx^5﹣ry^r．令5﹣r=2，r=3，解得r=3．令5﹣r=3，r=2，解得r=2．即可得出．

【解答】解：（2x﹣y）⁵的展开式的通项公式：T_r+1=（2x）^5﹣r（﹣y）^r=2^5﹣r（﹣1）^rx^5﹣ry^r．

令5﹣r=2，r=3，解得r=3．

令5﹣r=3，r=2，解得r=2．

∴（x+y）（2x﹣y）⁵的展开式中的x³y³系数=2²×（﹣1）³+2³×=40．

故选：C．

【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

5．（5分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为（　　）

A．﹣=1B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 

【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．

【解答】解：椭圆+=1的焦点坐标（±3，0），

则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3，

双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，

可得，即，可得=，解得a=2，b=，

所求的双曲线方程为：﹣=1．

故选：B．

【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．

6．（5分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（　　）

A．f（x）的一个周期为﹣2π

B．y=f（x）的图象关于直线x=对称

C．f（x+π）的一个零点为x=

D．f（x）在（，π）单调递减

【考点】H7：余弦函数的图象．菁优网版权所有

【专题】33：函数思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质．

【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．

【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，

B．当x=时，cos（x+）=cos（+）=cos=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确，

C当x=时，f（+π）=cos（+π+）=cos=0，则f（x+π）的一个零点为x=，故C正确，

D．当＜x＜π时，＜x+＜，此时函数f（x）不是单调函数，故D错误，

故选：D．

【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．

7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（　　）

A．5B．4 C．3 D．2 

【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；39：运动思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．

【分析】通过模拟程序，可得到S的取值情况，进而可得结论．

【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0，

要使输出S的值小于91，应满足“t≤N”，

则进入循环体，从而S=100，M=﹣10，t=2，

要使输出S的值小于91，应接着满足“t≤N”，

则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3，

要使输出S的值小于91，应不满足“t≤N”，跳出循环体，

此时N的最小值为2，

故选：D．

【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．

8．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　）

A．πB． C． D． 

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5Q：立体几何．

【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r==，由此能求出该圆柱的体积．

【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，

∴该圆柱底面圆周半径r==，

∴该圆柱的体积：V=Sh==．

故选：B．

【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．

9．（5分）等差数列{a_n}的首项为1，公差不为0．若a₂，a₃，a₆成等比数列，则{a_n}前6项的和为（　　）

A．﹣24B．﹣3 C．3 D．8 

【考点】85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．

【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{a_n}前6项的和．

【解答】解：∵等差数列{a_n}的首项为1，公差不为0．a₂，a₃，a₆成等比数列，

∴，

∴（a₁+2d）²=（a₁+d）（a₁+5d），且a₁=1，d≠0，

解得d=﹣2，

∴{a_n}前6项的和为==﹣24．

故选：A．

【点评】本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．

10．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A₁，A₂，且以线段A₁A₂为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（　　）

A．B． C． D． 

【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有

【专题】34：方程思想；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】以线段A₁A₂为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离=a，化简即可得出．

【解答】解：以线段A₁A₂为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，

∴原点到直线的距离=a，化为：a²=3b²．

∴椭圆C的离心率e===．

故选：A．

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

11．（5分）已知函数f（x）=x²﹣2x+a（e^x﹣1+e^﹣x+1）有唯一零点，则a=（　　）

A．﹣B． C． D．1 

【考点】52：函数零点的判定定理．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．

【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）²的图象与y=a（e^x﹣1+）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．

【解答】解：因为f（x）=x²﹣2x+a（e^x﹣1+e^﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）²+a（e^x﹣1+）=0，

所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）²=a（e^x﹣1+）有唯一解，

等价于函数y=1﹣（x﹣1）²的图象与y=a（e^x﹣1+）的图象只有一个交点．

①当a=0时，f（x）=x²﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；

②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）²在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，

且y=a（e^x﹣1+）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，

所以函数y=1﹣（x﹣1）²的图象的最高点为A（1，1），y=a（e^x﹣1+）的图象的最高点为B（1，2a），

由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）²的图象与y=a（e^x﹣1+）的图象有两个交点，矛盾；

③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）²在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，

且y=a（e^x﹣1+）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，

所以函数y=1﹣（x﹣1）²的图象的最高点为A（1，1），y=a（e^x﹣1+）的图象的最低点为B（1，2a），

由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a=，符合条件；

综上所述，a=，

故选：C．

【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．

12．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（　　）

A．3B．2 C． D．2 

【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；31：数形结合；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆．

【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），根据=λ+μ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．

【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，

则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），

∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，

设圆的半径为r，

∵BC=2，CD=1，

∴BD==

∴BC•CD=BD•r，

∴r=，

∴圆的方程为（x﹣1）²+（y﹣2）²=，

设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），

∵=λ+μ，

∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），

∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，

∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，

∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，

∴1≤λ+μ≤3，

故λ+μ的最大值为3，

故选：A．

【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．

二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为　﹣1　．

【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5T：不等式．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=3x﹣4y的最小值．

【解答】解：由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），

平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，

经过点B（1，1）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，

将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，

即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．

故答案为：﹣1．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

14．（5分）设等比数列{a_n}满足a₁+a₂=﹣1，a₁﹣a₃=﹣3，则a₄=　﹣8　．

【考点】88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有

【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．

【分析】设等比数列{a_n}的公比为q，由a₁+a₂=﹣1，a₁﹣a₃=﹣3，可得：a₁（1+q）=﹣1，a₁（1﹣q²）=﹣3，解出即可得出．

【解答】解：设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₁+a₂=﹣1，a₁﹣a₃=﹣3，

∴a₁（1+q）=﹣1，a₁（1﹣q²）=﹣3，

解得a₁=1，q=﹣2．

则a₄=（﹣2）³=﹣8．

故答案为：﹣8．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

15．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范围是　（，+∞）　．

【考点】3T：函数的值．菁优网版权所有

【专题】32：分类讨论；4R：转化法；51：函数的性质及应用．

【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可．

【解答】解：若x≤0，则x﹣≤﹣，

则f（x）+f（x﹣）＞1等价为x+1+x﹣+1＞1，即2x＞﹣，则x＞，

此时＜x≤0，

当x＞0时，f（x）=2^x＞1，x﹣＞﹣，

当x﹣＞0即x＞时，满足f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，

当0≥x﹣＞﹣，即≥x＞0时，f（x﹣）=x﹣+1=x+，

此时f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，

综上x＞，

故答案为：（，+∞）．

【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键．

16．（5分）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所成角的最小值为45°；

④直线AB与a所成角的最小值为60°；

其中正确的是　②③　．（填写所有正确结论的编号）

【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．

【分析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，|AC|=1，|AB|=，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．

【解答】解：由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，

不妨设图中所示正方体边长为1，

故|AC|=1，|AB|=，\

斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，

B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，

以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，

则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量=（0，1，0），||=1，

直线b的方向单位向量=（1，0，0），||=1，

设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），

其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π），

∴AB′在运动过程中的向量，=（cosθ，sinθ，﹣1），||=，

设与所成夹角为α∈[0，]，

则cosα==|sinθ|∈[0，]，

∴α∈[，]，∴③正确，④错误．

设与所成夹角为β∈[0，]，

cosβ===|cosθ|，

当与夹角为60°时，即α=，

|sinθ|===，

∵cos²θ+sin²θ=1，∴cosβ=|cosθ|=，

∵β∈[0，]，∴β=，此时与的夹角为60°，

∴②正确，①错误．

故答案为：②③．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。

17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2．

（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

【考点】HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；58：解三角形．

【分析】（1）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出，

（2）先根据夹角求出cosC，求出CD的长，得到S_△ABD=S_△ABC．

【解答】解：（1）∵sinA+cosA=0，

∴tanA=，

∵0＜A＜π，

∴A=，

由余弦定理可得a²=b²+c²﹣2bccosA，

即28=4+c²﹣2×2c×（﹣），

即c²+2c﹣24=0，

解得c=﹣6（舍去）或c=4，

故c=4．

（2）∵c²=b²+a²﹣2abcosC，

∴16=28+4﹣2×2×2×cosC，

∴cosC=，

∴CD===

∴CD=BC

∵S_△ABC=AB•AC•sin∠BAC=×4×2×=2，

∴S_△ABD=S_△ABC=

【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及解三角形的问题，属于中档题

18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；32：分类讨论；49：综合法；5I：概率与统计．

【分析】（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．

（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑200≤n≤500，根据300≤n≤500和200≤n≤300分类讨论经，能得到当n=300时，EY最大值为520元．

【解答】解：（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，

P（X=200）==0.2，

P（X=300）=，

P（X=500）==0.4，

∴X的分布列为：

（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，

∴只需考虑200≤n≤500，

当300≤n≤500时，

若最高气温不低于25，则Y=6n﹣4n=2n；

若最高气温位于区间[20，25），则Y=6×300+2（n﹣300）﹣4n=1200﹣2n；

若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n，

∴EY=2n×0.4+（1200﹣2n）×0.4+（800﹣2n）×0.2=640﹣0.4n，

当200≤n≤300时，

若最高气温不低于20，则Y=6n﹣4n=2n，

若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n，

∴EY=2n×（0.4+0.4）+（800﹣2n）×0.2=160+1.2n．

∴n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想，是中档题．

19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．

【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有

【专题】31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．

【分析】（1）如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．△ABC是等边三角形，可得OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD是直角三角形，可得AC是斜边，∠ADC=90°．可得DO=AC．利用DO²+BO²=AB²=BD²．可得OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．

（2）设点D，B到平面ACE的距离分别为h_D，h_E．则=．根据平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，可得===1，即点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．利用法向量的夹角公式即可得出．

【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．

∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．

△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，

∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．

∵△ACD是直角三角形，

∴AC是斜边，∴∠ADC=90°．

∴DO=AC．

∴DO²+BO²=AB²=BD²．

∴∠BOD=90°．

∴OB⊥OD．

又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．

又OB⊂平面ABC，

∴平面ACD⊥平面ABC．

（2）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为h_D，h_E．则=．

∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，

∴===1．

∴点E是BD的中点．

建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．

则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E．

=（﹣1，0，1），=，=（﹣2，0，0）．

设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则，即，取=．

同理可得：平面ACE的法向量为=（0，1，）．

∴cos===﹣．

∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．

【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、三棱锥的体积计算公式、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

20．（12分）已知抛物线C：y²=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．

（1）证明：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．

【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；41：向量法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（1）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，由•=0，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得•=0，则坐标原点O在圆M上；

方法二：设直线l的方程x=my+2，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得•=0，则坐标原点O在圆M上；

（2）由题意可知：•=0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得M点坐标，则半径r=丨MP丨，即可求得圆的方程．

【解答】解：方法一：证明：（1）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2），

则=（2，2），=（2，﹣2），则•=0，

∴⊥，

则坐标原点O在圆M上；

当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x﹣2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

，整理得：k²x²﹣（4k²+2）x+4k²=0，

则x₁x₂=4，4x₁x₂=y₁²y₂²=（y₁y₂）²，由y₁y₂＜0，

则y₁y₂=﹣4，

由•=x₁x₂+y₁y₂=0，

则⊥，则坐标原点O在圆M上，

综上可知：坐标原点O在圆M上；

方法二：设直线l的方程x=my+2，

，整理得：y²﹣2my﹣4=0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则y₁y₂=﹣4，

则（y₁y₂）²=4x₁x₂，则x₁x₂=4，则•=x₁x₂+y₁y₂=0，

则⊥，则坐标原点O在圆M上，

∴坐标原点O在圆M上；

（2）由（1）可知：x₁x₂=4，x₁+x₂=，y₁+y₂=，y₁y₂=﹣4，

圆M过点P（4，﹣2），则=（4﹣x₁，﹣2﹣y₁），=（4﹣x₂，﹣2﹣y₂），

由•=0，则（4﹣x₁）（4﹣x₂）+（﹣2﹣y₁）（﹣2﹣y₂）=0，

整理得：k²+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1，

当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4，

则x₁+x₂=，y₁+y₂=﹣1，

则M（，﹣），半径为r=丨MP丨==，

∴圆M的方程（x﹣）²+（y+）²=．

当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x﹣2，

同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨=，

∴圆M的方程为（x﹣3）²+（y﹣1）²=10，

综上可知：直线l的方程为y=﹣2x+4，圆M的方程（x﹣）²+（y+）²=，

或直线l的方程为y=x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）²+（y﹣1）²=10．

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．

21．（12分）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．

（1）若f（x）≥0，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；32：分类讨论；49：综合法；53：导数的综合应用．

【分析】（1）通过对函数f（x）=x﹣1﹣alnx（x＞0）求导，分a≤0、a＞0两种情况考虑导函数f′（x）与0的大小关系可得结论；

（2）通过（1）可知lnx≤x﹣1，进而取特殊值可知ln（1+）＜，k∈N^*．一方面利用等比数列的求和公式放缩可知（1+）（1+）…（1+）＜e，另一方面可知（1+）（1+）…（1+）＞2，从而当n≥3时，（1+）（1+）…（1+）∈（2，e），比较可得结论．

【解答】解：（1）因为函数f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0，

所以f′（x）=1﹣=，且f（1）=0．

所以当a≤0时f′（x）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，这与f（x）≥0矛盾；

当a＞0时令f′（x）=0，解得x=a，

所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即f（x）_min=f（a），

若a≠1，则f（a）＜f（1）=0，从而与f（x）≥0矛盾；

所以a=1；

（2）由（1）可知当a=1时f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1，

所以ln（x+1）≤x当且仅当x=0时取等号，

所以ln（1+）＜，k∈N^*．

ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜++…+=1﹣＜1，

即（1+）（1+）…（1+）＜e；

因为m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m成立，

当n=3时，不等式左边大于2，

所以m的最小值为3．

【点评】本题是一道关于函数与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，考查等比数列的求和公式，考查放缩法，注意解题方法的积累，属于难题．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l₁的参数方程为，（t为参数），直线l₂的参数方程为，（m为参数）．设l₁与l₂的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l₃：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l₃与C的交点，求M的极径．

【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有

【专题】34：方程思想；4Q：参数法；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．

【分析】解：（1）分别消掉参数t与m可得直线l₁与直线l₂的普通方程为y=k（x﹣2）①与x=﹣2+ky②；联立①②，消去k可得C的普通方程为x²﹣y²=4；

（2）将l₃的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣=0化为普通方程：x+y﹣=0，再与曲线C的方程联立，可得，即可求得l₃与C的交点M的极径为ρ=．

【解答】解：（1）∵直线l₁的参数方程为，（t为参数），

∴消掉参数t得：直线l₁的普通方程为：y=k（x﹣2）①；

又直线l₂的参数方程为，（m为参数），

同理可得，直线l₂的普通方程为：x=﹣2+ky②；

联立①②，消去k得：x²﹣y²=4，即C的普通方程为x²﹣y²=4（x≠2且y≠0）；

（2）∵l₃的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，

∴其普通方程为：x+y﹣=0，

联立得：，

∴ρ²=x²+y²=+=5．

∴l₃与C的交点M的极径为ρ=．

【点评】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等价转化思想的运用，属于中档题．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．

（1）求不等式f（x）≥1的解集；

（2）若不等式f（x）≥x²﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．

【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有

【专题】32：分类讨论；33：函数思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．

【分析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；

（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x²+x]_max，设g（x）=f（x）﹣x²+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）_max=，从而可得m的取值范围．

【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，f（x）≥1，

∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；

当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；

综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．

（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x²+x≥m成立，

即m≤[f（x）﹣x²+x]_max，设g（x）=f（x）﹣x²+x．

由（1）知，g（x）=，

当x≤﹣1时，g（x）=﹣x²+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1，

∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；

当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x²+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=∈（﹣1，2），

∴g（x）≤g（）=﹣+﹣1=；

当x≥2时，g（x）=﹣x²+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2，

∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1；

综上，g（x）_max=，

∴m的取值范围为（﹣∞，]．

【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．