2014年四川省高考数学试卷（文科）

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）

1．（5分）已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（　　）

A．{﹣1，0} B．{0，1} 

C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2} 

2．（5分）在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（　　）

A．总体B．个体 

C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本 

3．（5分）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（　　）

A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度 

C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度 

4．（5分）某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）

（锥体体积公式：V=Sh，其中S为底面面积，h为高）

A．3B．2 C． D．1 

5．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　）

A．＞B．＜ C．＞ D．＜ 

6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（　　）

A．0B．1 C．2 D．3 

7．（5分）已知b＞0，log₅b=a，lgb=c，5^d=10，则下列等式一定成立的是（　　）

A．d=acB．a=cd C．c=ad D．d=a+c 

8．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（　　）

A．mB．m C．m D．m

9．（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（　　）

A．[，2]B．[，2] C．[，4] D．[2，4]

10．（5分）已知F为抛物线y²=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　）

A．2B．3 C． D． 

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．（5分）双曲线﹣y²=1的离心率等于　   　．

12．（5分）复数=　   　．

13．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=　   　．

14．（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=　   　．

15．（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ₁（x）=x³，φ₂（x）=sinx时，φ₁（x）∈A，φ₂（x）∈B．现有如下命题：

①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；

②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；

③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．

④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．

其中的真命题有　   　．（写出所有真命题的序号）

三、解答题（共6小题，共75分）

16．（12分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、c．

（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；

（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率．

17．（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）．

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．

18．（12分）在如图所示的多面体中，四边形ABB₁A₁和ACC₁A₁都为矩形

（Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC₁A₁；

（Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC₁的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A₁MC？请证明你的结论．

19．（12分）设等差数列{a_n}的公差为d，点（a_n，b_n）在函数f（x）=2^x的图象上（n∈N^*）

（Ⅰ）证明：数列{b_n}为等比数列；

（Ⅱ）若a₁=1，函数f（x）的图象在点（a₂，b₂）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{a_nb_n²}的前n项和S_n．

20．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．

21．（14分）已知函数f（x）=e^x﹣ax²﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．

（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；

（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．

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2014年四川省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）

1．（5分）已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（　　）

A．{﹣1，0} B．{0，1} 

C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2} 

【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有

【专题】5J：集合．

【分析】由题意，可先化简集合A，再求两集合的交集．

【解答】解：A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}={x|﹣1≤x≤2}，又集合B为整数集，

故A∩B={﹣1，0，1，2}

故选：D．

【点评】本题考查求交，掌握理解交的运算的意义是解答的关键．

2．（5分）在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（　　）

A．总体B．个体 

C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本 

【考点】BE：用样本的数字特征估计总体的数字特征．菁优网版权所有

【专题】5I：概率与统计．

【分析】根据题意，结合总体、个体、样本、样本容量的定义可得结论．

【解答】解：根据题意，结合总体、个体、样本、样本容量的定义可得，5000名居民的阅读时间的全体是总体，

故选：A．

【点评】本题主要考查总体、个体、样本、样本容量的定义，属于基础题．

3．（5分）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（　　）

A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度 

C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度 

【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有

【专题】57：三角函数的图像与性质．

【分析】直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案．

【解答】解：∵由y=sinx到y=sin（x+1），只是横坐标由x变为x+1，

∴要得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度．

故选：A．

【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是基础题．

4．（5分）某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）

（锥体体积公式：V=Sh，其中S为底面面积，h为高）

A．3B．2 C． D．1 

【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．

【分析】根据三棱锥的俯视图与侧视图判定三棱锥的一个侧面与底面垂直，判断三棱锥的高与底面三角形的形状及边长，把数据代入棱锥的体积公式计算．

【解答】解：由三棱锥的俯视图与侧视图知：三棱锥的一个侧面与底面垂直，高为，

底面为等边三角形，边长为2，

∴三棱锥的体积V=××2××=1．

故选：D．

【点评】本题考查了由三棱锥的侧视图与俯视图求体积，判断三棱锥的结构特征及相关几何量的数据是解题的关键．

5．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　）

A．＞B．＜ C．＞ D．＜ 

【考点】R3：不等式的基本性质．菁优网版权所有

【专题】59：不等式的解法及应用．

【分析】利用特例法，判断选项即可．

【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，

则，

∴C、D不正确；

=﹣3，=﹣

∴A不正确，B正确．

解法二：

∵c＜d＜0，

∴﹣c＞﹣d＞0，

∵a＞b＞0，

∴﹣ac＞﹣bd，

∴，

∴．

故选：B．

【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，带数计算正确即可．

6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（　　）

A．0B．1 C．2 D．3 

【考点】7C：简单线性规划；E9：程序框图的三种基本逻辑结构的应用．菁优网版权所有

【专题】5K：算法和程序框图．

【分析】算法的功能是求可行域内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值．

【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，

画出可行域如图：

当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2．

故选：C．

【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．

7．（5分）已知b＞0，log₅b=a，lgb=c，5^d=10，则下列等式一定成立的是（　　）

A．d=acB．a=cd C．c=ad D．d=a+c 

【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有

【专题】51：函数的性质及应用．

【分析】利用指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式即可得出．

【解答】解：由5^d=10，可得，

∴cd=lgb=log₅b=a．

故选：B．

【点评】本题考查了指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式，属于基础题．

8．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（　　）

A．mB．m C．m D．m 

【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有

【专题】12：应用题；58：解三角形．

【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．

【解答】解：如图，∠DAB=15°，

∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．

在Rt△ADB中，又AD=60，

∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．

在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，

∴DC=AD•tan60°=60．

∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m）．

∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．

故选：B．

【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．

9．（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（　　）

A．[，2]B．[，2] C．[，4] D．[2，4] 

【考点】5A：函数最值的应用；IM：两条直线的交点坐标．菁优网版权所有

【专题】5B：直线与圆．

【分析】可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|²+|PB|²=10．三角换元后，由三角函数的知识可得．

【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），

动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），

∵动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0的斜率之积为﹣1，始终垂直，

P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴|PA|²+|PB|²=|AB|²=10．

设∠ABP=θ，则|PA|=sinθ，|PB|=cosθ，

由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]

∴|PA|+|PB|=（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），

∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，

∴sin（θ+）∈[，1]，

∴2sin（θ+）∈[，2]，

故选：B．

【点评】本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角函数的应用，属中档题．

10．（5分）已知F为抛物线y²=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　）

A．2B．3 C． D． 

【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有

【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．

【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．

【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

直线AB与x轴的交点为M（m，0），

由⇒y²﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y₁•y₂=﹣m，

∵•=2，∴x₁•x₂+y₁•y₂=2，

结合及，得，

∵点A，B位于x轴的两侧，∴y₁•y₂=﹣2，故m=2．

不妨令点A在x轴上方，则y₁＞0，又，

∴S_△ABO+S_△AFO═×2×（y₁﹣y₂）+×y₁，

=．

当且仅当，即时，取“=”号，

∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，

故选：B．

【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：

1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．

2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．

3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．（5分）双曲线﹣y²=1的离心率等于　　．

【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有

【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】根据双曲线的方程，求出a，b，c，即可求出双曲线的离心率．

【解答】解：由双曲线的方程可知a²=4，b²=1，

则c²=a²+b²=4+1=5，

则a=2，c=，

即双曲线的离心率e==，

故答案为：

【点评】本题主要考查双曲线的离心率的计算，求出a，c是解决本题的关键，比较基础．

12．（5分）复数=　﹣2i　．

【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有

【专题】5N：数系的扩充和复数．

【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果．

【解答】解：复数===﹣2i，

故答案为：﹣2i．

【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．

13．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=　1　．

【考点】3Q：函数的周期性．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值．

【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，

∴=1．

故答案为：1．

【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”．

14．（5分）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=　2　．

【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有

【专题】5A：平面向量及应用．

【分析】利用向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式即可得出．

【解答】解：∵向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），

∴=m（1，2）+（4，2）=（m+4，2m+2）．

∴=m+4+2（2m+2）=5m+8，=4（m+4）+2（2m+2）=8m+20．

，=2．

∵与的夹角等于与的夹角，

∴=，

∴，

化为5m+8=4m+10，

解得m=2．

故答案为：2．

【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式，属于基础题．

15．（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ₁（x）=x³，φ₂（x）=sinx时，φ₁（x）∈A，φ₂（x）∈B．现有如下命题：

①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；

②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；

③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．

④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．

其中的真命题有　①③④　．（写出所有真命题的序号）

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；2H：全称量词和全称命题；2I：存在量词和特称命题；2K：命题的真假判断与应用；34：函数的值域．菁优网版权所有

【专题】23：新定义；3A：极限思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．

【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．

【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R．反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；

  （2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．

∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值，故②是假命题；

  （3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．故f（x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）．

则f（x）+g（x）∉B，故③是真命题；

  （4）对于命题④，∵﹣≤≤，

当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）∈B，故④是真命题．

故答案为①③④．

【点评】本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想．本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题．

三、解答题（共6小题，共75分）

16．（12分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、c．

（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；

（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率．

【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有

【专题】5I：概率与统计．

【分析】（Ⅰ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3=27种，而满足a+b=c的（a，b，c有计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率．

（Ⅱ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的（a，b，c）共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．

【解答】解：（Ⅰ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3=27种，

而满足a+b=c的（a，b，c）有（1，1，2）、（1，2，3）、（2，1，3），共计3个，

故“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为=．

（Ⅱ）满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的（a，b，c）有：

（1，1，1）、（2，2，2）、（3，3，3），共计三个，

故“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率为=，

∴“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为1﹣=．

【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于中档题．

17．（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）．

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．

【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性．菁优网版权所有

【专题】56：三角函数的求值．

【分析】（1）令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．

（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得 （cosα﹣sinα）²=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值．

【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈Z，

求得 ﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈Z．

（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，

∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos²α﹣sin²α），

∴sinαcos+cosαsin=（cosαcos﹣sinαsin）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）

即 （sinα+cosα）=•（cosα﹣sinα）²（cosα+sinα），

又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，

当sinα+cosα=0时，tanα=﹣1，sinα=，cosα=﹣，此时cosα﹣sinα=﹣．

当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．

综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．

【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

18．（12分）在如图所示的多面体中，四边形ABB₁A₁和ACC₁A₁都为矩形

（Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC₁A₁；

（Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC₁的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A₁MC？请证明你的结论．

【考点】LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直．菁优网版权所有

【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离．

【分析】（Ⅰ）先证明AA₁⊥平面ABC，可得AA₁⊥BC，利用AC⊥BC，可以证明直线BC⊥平面ACC₁A₁；

（Ⅱ）取AB的中点M，连接A₁M，MC，A₁C，AC₁，证明四边形MDEO为平行四边形即可．

【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABB₁A₁和ACC₁A₁都为矩形，

∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AC，

∵AB∩AC=A，

∴AA₁⊥平面ABC，

∵BC⊂平面ABC，

∴AA₁⊥BC，

∵AC⊥BC，AA₁∩AC=A，

∴直线BC⊥平面ACC₁A₁；

（Ⅱ）解：取AB的中点M，连接A₁M，MC，A₁C，AC₁，设O为A₁C，AC₁的交点，则O为AC₁的中点．

连接MD，OE，则MD∥AC，MD=AC，OE∥AC，OE=AC，

∴MD∥OE，MD=OE，

连接OM，则四边形MDEO为平行四边形，

∴DE∥MO，

∵DE⊄平面A₁MC，MO⊂平面A₁MC，

∴DE∥平面A₁MC，

∴线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使直线DE∥平面A₁MC．

【点评】本题考查线面垂直的判定与性质的运用，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

19．（12分）设等差数列{a_n}的公差为d，点（a_n，b_n）在函数f（x）=2^x的图象上（n∈N^*）

（Ⅰ）证明：数列{b_n}为等比数列；

（Ⅱ）若a₁=1，函数f（x）的图象在点（a₂，b₂）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{a_nb_n²}的前n项和S_n．

【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有

【专题】54：等差数列与等比数列．

【分析】（Ⅰ）利用等比数列的定义证明即可；

（Ⅱ）先由（Ⅰ）求得a_n，b_n，再利用错位相减求数列{a_nb_n²}的前n项和S_n．

【解答】（Ⅰ）证明：由已知得，b_n=＞0，

当n≥1时，===2^d，

∴数列{b_n}为首项是，公比为2^d的等比数列；

（Ⅱ）解：f′（x）=2^xln2

∴函数f（x）的图象在点（a₂，b₂）处的切线方程为y﹣=ln2（x﹣a₂），

∵在x轴上的截距为2﹣，

∴a₂﹣=2﹣，∴a₂=2，

∴d=a₂﹣a₁=1，a_n=n，b_n=2ⁿ，a_nb_n²=n4ⁿ，

∴T_n=1•4+2•4²+3•4³+…+（n﹣1）•4^n﹣1+n•4ⁿ，

4T_n=1•4²+2•4³+…+（n﹣1）•4ⁿ+n•4ⁿ⁺¹，

∴T_n﹣4T_n=4+4²+…+4ⁿ﹣n•4ⁿ⁺¹=﹣n•4ⁿ⁺¹=，

∴T_n=．

【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，导数的几何意义等知识；考查学生的运算求解能力、推理论证能力，属中档题．

20．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．

【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有

【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（Ⅰ）由题意可得，解出即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），设T（﹣3，m），可得直线TF的斜率k_TF=﹣m，由于TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．直线方程与椭圆方程可得根与系数的关系．由于四边形OPTQ是平行四边形，可得，即可解得m．此时四边形OPTQ的面积S=．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，

解得c=2，a=，b=．

∴椭圆C的标准方程为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），

设T（﹣3，m），则直线TF的斜率，

∵TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2．

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．

联立，化为（m²+3）y²﹣4my﹣2=0，

△＞0，∴y₁+y₂=，y₁y₂=．

∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）﹣4=．

∵四边形OPTQ是平行四边形，

∴，∴（x₁，y₁）=（﹣3﹣x₂，m﹣y₂），

∴，解得m=±1．

此时四边形OPTQ的面积S=═=．

【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交可得根与系数的关系及弦长问题、向量相等问题、平行四边形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了数形结合和转化能力，属于难题．

21．（14分）已知函数f（x）=e^x﹣ax²﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．

（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；

（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．

【考点】51：函数的零点；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有

【专题】53：导数的综合应用．

【分析】（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；

（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．

【解答】解：∵f（x）=e^x﹣ax²﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=e^x﹣2ax﹣b，

又g′（x）=e^x﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤e^x≤e，

∴①当时，则2a≤1，g′（x）=e^x﹣2a≥0，

∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）_min=g（0）=1﹣b；

②当，则1＜2a＜e，

∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=e^x﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=e^x﹣2a＞0，

∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，

g（x）_min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；

③当时，则2a≥e，g′（x）=e^x﹣2a≤0，

∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）_min=g（1）=e﹣2a﹣b，

综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；

（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，

若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，

由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．

若，则g_min（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1

令h（x）=  （1＜x＜e）

则=，∴．由＞0⇒x＜

∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，

==＜0，即g_min（x）＜0 恒成立，

∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，

又，所以e﹣2＜a＜1，

综上得：e﹣2＜a＜1．

另解：由g（0）＞0，g（1）＞0 解出e﹣2＜a＜1，

再证明此时f（x）_min＜0 由于f（x）最小时，f'（x）=g（x）=e^x﹣2ax﹣b=0，

故有e^x=2ax+b且f（1）=0知e﹣1=a+b，

则f（x）_min=2ax+b﹣ax²﹣（e﹣1﹣a）x﹣1=﹣ax²+（3a+1﹣e）x+e﹣a﹣2，

开口向下，最大值（5a²﹣（2e+2）a+e²﹣2e），分母为正，

只需看分子正负，分子＜5﹣（2e+2）+e²﹣2e（a=1时取最大）=e²﹣4e+3＜0，

故f（x）_min＜0，

故 e﹣2＜a＜1．

【点评】本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点．是一道导数的综合题，难度较大．