您的位置: 首页 >四川印象>四川高考题>2000年以后试题>理科数学>详细内容
2024-12-23 11:08:33

2008年四川省高考数学试卷(理科)(含解析版)

来源:四川省地方志工作办公室 发布时间:2019-05-10 10:11:50 浏览次数: 【字体:

2008年四川省高考数学试卷(理科)

一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)

1.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={3,4,5},则集合U(AB)=(  )

A.{3}B.{4,5} C.{3,4,5} D.{1,2,4,5}

2.(5分)复数2i(1+i)2=(  )

A.﹣4B.4 C.﹣4i D.4i 

3.(5分)(tanx+cotx)cos2x=(  )

A.tanxB.sinx C.cosx D.cotx 

4.(5分)直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,所得到的直线为(  )

A.B.5b98dc11fd6b4ffa8b81ab61a40c67b3.Png C.y=3x﹣3 D.2687d97d34db46fd9b2f4f8718695422.Png 

5.(5分)若0α2π,sinα890448067f2645ea8cce32e429b886f7.Pngcosα,则α的取值范围是(  )

A.(,)B.(57ab03385ea14c5793555955a14e78d6.Png,π) C.(0fb5c3d660e0430e81a7e4c239818b12.Png32da518d5f2641ad88f3f3d8064d0aca.Png D.(f812b8ecfd8742f6aea9bd3d9ede5a8b.Pngaf05ad55fc944a8c8297f960447fb9fc.Png

6.(5分)从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动,要求甲、乙中至少有1人参加,则不同的挑选方法共有(  )

A.70种B.112种 C.140种 D.168种 

7.(5分)已知等比数列{an}中,a2=1,则其前3项的和S3的取值范围是(  )

A.(﹣∞,﹣1]B.(﹣,0)(1,+∞ 

C.[3,+∞)D.(﹣,﹣1]∪[3,+∞ 

8.(5分)设M,N是球心O的半径OP上的两点,且NP=MN=OM,分别过N,M,O作垂线于OP的面截球得三个圆,则这三个圆的面积之比为:(  )

A.3,5,6B.3,6,8 C.5,7,9 D.5,8,9 

9.(5分)设直线l平面α,过平面α外一点A与l,α都成30°角的直线有且只有(  )

A.1条B.2条 C.3条 D.4条 

10.(5分)设f(x)=sin(ωx+φ),其中ω0,则f(x)是偶函数的充要条件是(  )

A.f(0)=1B.f(0)=0 C.f′(0)=1 D.f′(0)=0 

11.(5分)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)•f(x+2)=13,若f(1)=2,则f(99)=(  )

A.13B.2 C.835c30f2b26d44ccb51d83bade90065e.Png D.a9e3fce61f684a9cbb838fd3e612cd42.Png 

12.(5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且31bb8a165d004325b4f3b31cd838bc8a.Png,则AFK的面积为(  )

A.4B.8 C.16 D.32 

 

二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)

13.(4分)(1+2x)3(1﹣x)4展开式中x2的系数为     

14.(4分)已知直线l:x﹣y+4=0与圆C:(x﹣1)2+(y﹣1)2=2,则C上各点到l的距离的最小值为     

15.(4分)已知正四棱柱的对角线的长为d18b629b9078474baedb467558a71e21.Png,且对角线与底面所成角的余弦值为797ee855daf64e2f8859f686391c8d14.Png,则该正四棱柱的体积等于     

16.(4分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S410,S515,则a4的最大值为     

 

三、解答题(共6小题,满分74分)

17.(12分)求函数y=7﹣4sinxcosx+4cos2x﹣4cos4x的最大值与最小值.

 

  

 

 

18.(12分)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.

(Ⅰ)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;

(Ⅱ)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率;

(Ⅲ)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求ξ的分布列及期望.

 

 

 

19.(12分)如,平面ABEF平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,BAD=FAB=90°,BC9c9cd98143a54c1e805a9fa08515d6bc.Png,BE32c2b590085145be91545762b6d117b5.Png

(Ⅰ)证明:C,D,F,E四点共面;

(Ⅱ)设AB=BC=BE,求二面角A﹣ED﹣B的大小.

f79781a232c24ab7979e541943467b5a.Png 

 

 

 

 

 

20.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知ban﹣2n=(b﹣1)Sn

(Ⅰ)证明:当b=2时,{an﹣n•2n﹣1}是等比数列;

(Ⅱ)求{an}的通项公式.

 

  

 

 

21.(12分)设椭圆3bebc722bdf8465f881c481e68671df5.Png,({ab0})的左右焦点分别为F1,F2,离心率d490268c38b745bcab4437aadabd8fd2.Png,右准线为l,M,N是l上的两个动点,5fefb8373cb24ffd9dccb5d9a02ae3be.Png

(Ⅰ)若2092c652facd4c338b4d1010fe144083.Png,求a,b的值;

(Ⅱ)证明:当|MN|取最小值时,0770cda67ff34b849512e13cdd03139d.Png967c394f0163442c8a9f0f3afc864dc1.Png共线.

f8f01e40a4d64c77b2df2111e6371fd6.Png 

  

 

 

 

22.(14分)已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2﹣10x的一个极值点.

(Ⅰ)求a;

(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;

(Ⅲ)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点,求b的取值范围.

 


 

2008年四川省高考数学试卷(理科)

参考答案与试题解析

 

一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)

1.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={3,4,5},则集合U(AB)=(  )

A.{3}B.{4,5} C.{3,4,5} D.{1,2,4,5}

 

【考点】1H:交、并、补集的混合运算.菁优网版权所有

【分析】根据交集的含义求AB、再根据补集的含义求解.

【解答】解:A={1,3},B={3,4,5}AB={3}

所以CU(AB)={1,2,4,5}

故选:D.

【点评】本题考查集合的基本运算,较简单.

 

2.(5分)复数2i(1+i)2=(  )

A.﹣4B.4 C.﹣4i D.4i 

 

【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有

【分析】先算(1+i)2,再算乘2i,化简即可.

【解答】解:2i(1+i)2=2i(1+2i﹣1)=2i×2i=4i2=﹣4

故选:A.

【点评】此题考查复数的运算,乘法公式,以及注意i2=﹣1;是基础题.

 

3.(5分)(tanx+cotx)cos2x=(  )

A.tanxB.sinx C.cosx D.cotx 

 

【考点】GG:同角三角函数间的基本关系.菁优网版权所有

【分析】此题重点考查各三角函数的关系,切化弦,约分整理,凑出同一角的正弦和余弦的平方和,再约分化简.

【解答】解:5402b887c4ce4f54b4a1793bb92a0e7b.Png

=2688812a54694fe7b64a32ad95abc9cf.Png

故选:D.

【点评】将不同的角化为同角;将不同名的函数化为同名函数,以减少函数的种类;当式中有正切、余切、正割、余割时,通常把式子化成含有正弦与余弦的式子,即所谓“切割化弦”.

 

4.(5分)直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,所得到的直线为(  )

A.B.92f69b3f02824f33abcf337fdd5ffc28.Png C.y=3x﹣3 D.4402091077774acd84699e3ad7cf3eeb.Png 

 

【考点】IA:两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系.菁优网版权所有

【分析】先利用两直线垂直写出第一次方程,再由平移写出第二次方程.

【解答】解:直线y=3x绕原点逆时针旋转90°

两直线互相垂直

则该直线为5d5a8157be2f41dabdb3e459aa204180.Png

那么将e0031b68e0ff43b38ba53f8d000fbeaf.Png向右平移1个单位得0663d20c747a407da1b30207c64d67eb.Png,即7ed2e02e11ae433582deb2af23ec4f89.Png

故选:A.

【点评】本题主要考查互相垂直的直线关系,同时考查直线平移问题.

 

5.(5分)若0α2π,sinα9859d71f3efc48e4a0ac969b8c1b1945.Pngcosα,则α的取值范围是(  )

A.(,)B.(948643f92af5472c8261efac76a34af4.Png,π) C.(f0bc8bd400bd44c383223e6be651b041.Png6eda1e6a140b406a8438d8aa8cd06d43.Png D.(9458af2b562445c4b54d9a4ad3dd83f4.Pngfeffa442658f46cb8ad245fa23e8d8a0.Png 

【考点】GA:三角函数线;HF:正切函数的单调性和周期性.菁优网版权所有

【专题】11:计算题.

【分析】通过对sinα1977b11f3b904a3e90b50c740ccac32e.Pngcosα等价变形,利用辅助角公式化为正弦,利用正弦函数的性质即可得到答案.

【解答】解:0α2π,sinα5865efd482fc4502a10ddc938576dfb6.Pngcosα,

sinα﹣7d033633629b45e8859421602adc7ee1.Pngcosα=2sin(α﹣3d02b6b8ad3b4226b70033de5872d7a8.Png0,

0α2π,

0ba6a9c12deb4cab8d08fc765d6ac201.Pngα﹣c4e64a2bc31d4ebc8a5a159999ec1513.Png2c4e2c5b9a1f4482b76da59463da33ce.Png

2sin(α﹣90d0aa942e41429d8eb144b98c1ccc73.Png0,

0α﹣098ceecdbdb84af9b967fff3e7d02734.Pngπ,

3d0da453e87d4a31a205aeb040248b4c.Pngα13edf414a2524657a145123a387b3cf8.Png

故选:C.

【点评】本题考查辅助角公式的应用,考查正弦函数的性质,将sinα9570496e8908410d99fbf26385cc5990.Pngcosα等价变形是难点,也是易错点,属于中档题.

 

6.(5分)从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动,要求甲、乙中至少有1人参加,则不同的挑选方法共有(  )

A.70种B.112种 C.140种 D.168种 

 

【考点】D5:组合及组合数公式.菁优网版权所有

【专题】11:计算题.

【分析】根据题意,分析可得,甲、乙中至少有1人参加的情况数目等于从10个同学中挑选4名参加公益活动挑选方法数减去从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加公益活动的挑选方法数,分别求出其情况数目,计算可得答案.

【解答】解:从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有C104种不同挑选方法;

从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有C84种不同挑选方法;

甲、乙中至少有1人参加,则不同的挑选方法共有C104﹣C84=210﹣70=140种不同挑选方法,

故选:C.

【点评】此题重点考查组合的意义和组合数公式,本题中,要注意找准切入点,从反面下手,方法较简单.

 

7.(5分)已知等比数列{an}中,a2=1,则其前3项的和S3的取值范围是(  )

A.(﹣∞,﹣1]B.(﹣,0)(1,+∞ 

C.[3,+∞)D.(﹣,﹣1]∪[3,+∞ 

 

【考点】89:等比数列的前n项和.菁优网版权所有

【分析】首先由等比数列的通项入手表示出S3(即q的代数式),然后根据q的正负性进行分类,最后利用均值不等式求出S3的范围.

【解答】解:等比数列{an}中,a2=1

ca0749a29bad4e46b95e26ce74176261.Png

当公比q0时,8a88d934006b4ca7a8f86a119f913d60.Png

当公比q0时,dd0190b717494c1783af1cd566e97c52.Png

S3(﹣,﹣1]∪[3,+∞).

故选:D.

【点评】本题考查等比数列前n项和的意义、等比数列的通项公式及均值不等式的应用.

 

8.(5分)设M,N是球心O的半径OP上的两点,且NP=MN=OM,分别过N,M,O作垂线于OP的面截球得三个圆,则这三个圆的面积之比为:(  )

A.3,5,6B.3,6,8 C.5,7,9 D.5,8,9 

 

【考点】L*:球面距离及相关计算.菁优网版权所有

【专题】11:计算题.

【分析】先求截面圆的半径,然后求出三个圆的面积的比.

【解答】解:设分别过N,M,O作垂线于OP的面截球得三个圆的半径为r1,r2,r3,球半径为R,则:756f9099d5034263bbb1bb06737bd660.Png

r12:r22:r32=5:8:9这三个圆的面积之比为:5,8,9

故选:D.

【点评】此题重点考查球中截面圆半径,球半径之间的关系;考查空间想象能力,利用勾股定理的计算能力.

 

9.(5分)设直线l平面α,过平面α外一点A与l,α都成30°角的直线有且只有(  )

A.1条B.2条 C.3条 D.4条 

 

【考点】LP:空间中直线与平面之间的位置关系.菁优网版权所有

【分析】利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图,即可得到结果.

【解答】解:如图,和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线,当ABC=ACB=30°,直线AC,AB都满足条件

故选:B.

3ba503ab374e427a8e9f17caa7bf7bb8.Png 

【点评】此题重点考查线线角,线面角的关系,以及空间想象能力,图形的对称性;

数形结合,重视空间想象能力和图形的对称性;

 

10.(5分)设f(x)=sin(ωx+φ),其中ω0,则f(x)是偶函数的充要条件是(  )

A.f(0)=1B.f(0)=0 C.f′(0)=1 D.f′(0)=0 

 

【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.菁优网版权所有

【专题】11:计算题.

【分析】当f(x)=sin(ωx+φ)是偶函数时,f(0)一定是函数的最值,从而得到x=0必是f(x)的极值点,即f′(0)=0,因而得到答案.

【解答】解:f(x)=sin(ωx+φ)是偶函数

由函数f(x)=sin(ωx+φ)图象特征可知x=0必是f(x)的极值点,

f′(0)=0

故选:D.

【点评】此题重点考查正弦型函数的图象特征,函数的奇偶性,函数的极值点与函数导数的关系.

 

11.(5分)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)•f(x+2)=13,若f(1)=2,则f(99)=(  )

A.13B.2 C.c640c7af226642b9a7ca8cd3d48d37a4.Png D.93a7c97fd3ad4b1fbe1f7bcef529772a.Png 

 

【考点】3T:函数的值.菁优网版权所有

【专题】16:压轴题.

【分析】根据f(1)=2,f(x)•f(x+2)=13先求出f(3)=1bd7bc1fcfab4aa6ac16255a69a4f7ac.Png,再由f(3)求出f(5),依次求出f(7)、f(9)观察规律可求出f(x)的解析式,最终得到答案.

【解答】解:f(x)•f(x+2)=13且f(1)=2

aa42c43d4c6645e7aa1c6bccd2b226ef.Pngb249aa0ef67c41658ceed8122b7e6f61.Png4eb4248abaef4c4fa1b401bdb369dacf.Pngc40e086e8d9c4bf5b1cdadc1a443de40.Png

a0f9fd7453444b948a0134b1d6dcb79a.Png

587b6178742f49a3a28d3af866e75a1a.Png

故选:C.

【点评】此题重点考查递推关系下的函数求值;此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值,或者得到函数的周期性求解.

 

12.(5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且88e0af3a652f4847b0279827e6ea4c0f.Png,则AFK的面积为(  )

A.4B.8 C.16 D.32 

 

【考点】K8:抛物线的性质.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;16:压轴题.

【分析】根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程,进而可求得K的坐标,设A(x0,y0),过A点向准线作垂线AB,则B(﹣2,y0),根据c3ee8b5fd1ec44fdb73bd6a3eeaab5b0.Png及AF=AB=x0﹣(﹣2)=x0+2,进而可求得A点坐标,进而求得AFK的面积.

【解答】解:抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线为x=﹣2

K(﹣2,0)

设A(x0,y0),过A点向准线作垂线AB,则B(﹣2,y0

d41e1c0e5d6e489ba11ed73fc7737394.Png,又AF=AB=x0﹣(﹣2)=x0+2

由BK2=AK2﹣AB2得y02=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2,解得A(2,±4)

∴△AFK的面积为820330f683fa409893053e0596f56f8f.Png

故选:B.

a9a6d097bd0242f3b4f0a33716c12d88.Png 

【点评】本题抛物线的性质,由题意准确画出图象,利用离心率转化位置,在ABK中集中条件求出x0是关键;

 

二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)

13.(4分)(1+2x)3(1﹣x)4展开式中x2的系数为 ﹣6 

 

【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有

【专题】11:计算题.

【分析】利用乘法原理找展开式中的含x2项的系数,注意两个展开式的结合分析,即分别为第一个展开式的常数项和第二个展开式的x2的乘积、第一个展开式的含x项和第二个展开式的x项的乘积、第一个展开式的x2的项和第二个展开式的常数项的乘积之和从而求出答案.

【解答】解:(1+2x)3(1﹣x)4展开式中x2项为

C3013(2x)0•C4212(﹣x)2+C3112(2x)1•C4113(﹣x)1+C3212(2x)2•C4014(﹣x)0

所求系数为C30•C42+C31•2•C41(﹣1)+C32•22•C4014=6﹣24+12=﹣6.

故答案为:﹣6.

【点评】此题重点考查二项展开式中指定项的系数,以及组合思想,重在找寻这些项的来源.

 

14.(4分)已知直线l:x﹣y+4=0与圆C:(x﹣1)2+(y﹣1)2=2,则C上各点到l的距离的最小值为 1658deee442d47bcb3da2db35d780361.Png 

 

【考点】IT:点到直线的距离公式;J9:直线与圆的位置关系.菁优网版权所有

【专题】31:数形结合.

【分析】如图过点C作出CD与直线l垂直,垂足为D,与圆C交于点A,则AD为所求;求AD的方法是:由圆的方程找出圆心坐标与圆的半径,然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d,利用d减去圆的半径r即为圆上的点到直线l的距离的最小值.

【解答】解:如图可知:过圆心作直线l:x﹣y+4=0的垂线,则AD长即为所求;

圆C:(x﹣1)2+(y﹣1)2=2的圆心为C(1,1),半径为03d977c930ec4e0b940e861f4ae61629.Png

点C到直线l:x﹣y+4=0的距离为88727e9327344ea3bbcfd58e654a21e8.Png

AD=CD﹣AC=2ce50f980e4e44c86a639aec2d9995264.Pngf71a883213304a99830f1ff945626953.Png=8e00fcef81db4683a43615a8176b5fb3.Png

故C上各点到l的距离的最小值为7cb0144829704c07b372745e217f5a22.Png

故答案为:4f47308425364bd5868256719c38d638.Png

97b93abde89b4da0bdfb1a0eb792c31e.Png 

【点评】此题重点考查圆的标准方程和点到直线的距离.本题的突破点是数形结合,使用点C到直线l的距离距离公式.

 

15.(4分)已知正四棱柱的对角线的长为e97874a45df64358a77e4264b3ad93e4.Png,且对角线与底面所成角的余弦值为6f2f0f8e8aa642af951b0bcaefb93cd7.Png,则该正四棱柱的体积等于 2 

 

【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;13:作图题;16:压轴题.

【分析】由题意画出图形,求出高,底面边长,然后求出该正四棱柱的体积.

【解答】解::如图可知:f5bf991469a34d2989c84165805eb660.Png

d66fa631af3742199953fb3ca4d372ea.Png 

d9ed2d79cb6d493bbfb23ee29b272c83.Png正四棱柱的体积等于b855c5d806fa42f891bae201dcbdfa28.Png=2

故答案为:2

【点评】此题重点考查线面角,解直角三角形,以及求正四面题的体积;考查数形结合,重视在立体几何中解直角三角形,熟记有关公式.

 

16.(4分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S410,S515,则a4的最大值为 4 

 

【考点】83:等差数列的性质;85:等差数列的前n项和.菁优网版权所有

【专题】16:压轴题.

【分析】利用等差数列的前n项和公式变形为不等式,再利用消元思想确定d或a1的范围,a4用d或a1表示,再用不等式的性质求得其范围.

【解答】解:等差数列{an}的前n项和为Sn,且S410,S515,

74654b47c03b4edbad3e79a21255aa21.Png

7da6dbe32f3144ba92044d2871cc32cc.Png

8e395ffadce64785a04b91b09ffacafd.Png

79d7cdb2e7f04d0fa6386d51cc9e631a.Png,5+3d6+2d,d1

a43+d3+1=4故a4的最大值为4,

故答案为:4.

【点评】此题重点考查等差数列的通项公式,前n项和公式,以及不等式的变形求范围;

 

三、解答题(共6小题,满分74分)

17.(12分)求函数y=7﹣4sinxcosx+4cos2x﹣4cos4x的最大值与最小值.

 

【考点】HW:三角函数的最值.菁优网版权所有

【专题】11:计算题.

【分析】利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简y的解析式后,再利用配方法把y变为完全平方式即y=(1﹣sin2x)2+6,可设z(u﹣1)2+6,u=sin2x,因为sin2x的范围为[﹣1,1],根据u属于[﹣1,1]时,二次函数为递减函数,利用二次函数求最值的方法求出z的最值即可得到y的最大和最小值.

【解答】解:y=7﹣4sinxcosx+4cos2x﹣4cos4x=7﹣2sin2x+4cos2x(1﹣cos2x)=7﹣2sin2x+4cos2xsin2x=7﹣2sin2x+sin22x=(1﹣sin2x)2+6

由于函数z=(u﹣1)2+6在[﹣1,1]中的最大值为zmax=(﹣1﹣1)2+6=10

最小值为zmin=(1﹣1)2+6=6

故当sin2x=﹣1时y取得最大值10,当sin2x=1时y取得最小值6

【点评】此题重点考查三角函数基本公式的变形,配方法,符合函数的值域及最值;本题的突破点是利用倍角公式降幂,利用配方变为复合函数,重视复合函数中间变量的范围是关键.

 

18.(12分)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.

(Ⅰ)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;

(Ⅱ)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率;

(Ⅲ)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求ξ的分布列及期望.

 

【考点】C8:相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式;CG:离散型随机变量及其分布列;CH:离散型随机变量的期望与方差.菁优网版权所有

【专题】11:计算题.

【分析】(1)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种,包括两种情况:即进入商场的1位顾客购买甲种商品不购买乙种商品,进入商场的1位顾客购买乙种商品不购买甲种商品,分析后代入相互独立事件的概率乘法公式即可得到结论.

(2)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的对立事件为,该顾客即不习甲商品也不购买乙商品,我们可以利用对立事件概率减法公式求解.

(3)由(1)、(2)的结论,我们列出ξ的分布列,计算后代入期望公式即可得到数学期望.

【解答】解:记A表示事件:进入商场的1位顾客购买甲种商品,

记B表示事件:进入商场的1位顾客购买乙种商品,

记C表示事件:进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种,

记D表示事件:进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种,

(Ⅰ)7bd9ed231ed045b0aae1b8e733ece51c.Png

293478828e264f779bf54aceab831339.Png 

=732c3a06afb64a62bdc8086b2837641c.Png

=41d6fb2d86ae47d0a561d74bee4c83af.Png

=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5

(Ⅱ)6e4164e79fcf4b18b3f672884d60a3de.Png

ef24f5da2b144da5a64fa4cff9817052.Png 

=23f82399bdab45fb91ac8d8049f62a60.Png

=0.5×0.4

=0.2

342eaa9501c54734b3ff3eca79642c42.Png

(Ⅲ)ξB(3,0.8),

故ξ的分布列P(ξ=0)=0.23=0.008

P(ξ=1)=C31×0.8×0.22=0.096

P(ξ=2)=C32×0.82×0.2=0.384

P(ξ=3)=0.83=0.512

所以Eξ=3×0.8=2.4

【点评】此题重点考查相互独立事件的概率计算,以及求随机变量的概率分布列和数学期望;突破口:分清相互独立事件的概率求法,对于“至少”常从反面入手常可起到简化的作用;

 

19.(12分)如,平面ABEF平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,BAD=FAB=90°,BCce16e08e5e2f408784be08d6ffce9b6b.Png,BE4b95c681b09d40ba8f654f3654fdcc45.Png

(Ⅰ)证明:C,D,F,E四点共面;

(Ⅱ)设AB=BC=BE,求二面角A﹣ED﹣B的大小.

8cf3cc8494af47fabba074c0c9b53ee5.Png 

 

【考点】LJ:平面的基本性质及推论;MJ:二面角的平面角及求法.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;14:证明题.

【分析】(Ⅰ)延长DC交AB的延长线于点G,延长FE交AB的延长线于G′,根据比例关系可证得G与G′重合,准确推理,得到直线CD、EF相交于点G,即C,D,F,E四点共面.

(Ⅱ)取AE中点M,作MNDE,垂足为N,连接BN,由三垂线定理知BNED,根据二面角平面角的定义可知BMN为二面角A﹣ED﹣B的平面角,在三角形BMN中求出此角即可.

【解答】解:(Ⅰ)延长DC交AB的延长线于点G,由BC238b5126c6a548c3b81c4bff758aaaa8.Pngf1f19fc111d54f32bbec311ec377ce1a.Pngfefd916bf76e4071837a83bbfa464327.Png

延长FE交AB的延长线于G′

同理可得75aaa2d512544c13a4284f016e510ecc.Png

e25d3518ef6a415a9d994ef080eeb9fb.Png,即G与G′重合

因此直线CD、EF相交于点G,即C,D,F,E四点共面.

(Ⅱ)设AB=1,则BC=BE=1,AD=2

取AE中点M,则BMAE,又由已知得,AD平面ABEF

故ADBM,BM与平面ADE内两相交直线AD、AE都垂直.

所以BM平面ADE,作MNDE,垂足为N,连接BN

由三垂线定理知BNED,BMN为二面角A﹣ED﹣B的平面角.02c42a4ac0a74ea48298582dbc2c8904.Png

6494a73d163643beb6ae43a9ab29eda5.Png

所以二面角A﹣ED﹣B的大小924c8681512741158b9ffb93cd0ef174.Png

d2d0456d949e40cc8b0e0212adcfa1d9.Png 

【点评】此题重点考查立体几何中四点共面问题和求二面角的问题,考查空间想象能力,几何逻辑推理能力,以及计算能力;突破:熟悉几何公理化体系,准确推理,注意书写格式是顺利进行求解的关键.

 

20.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知ban﹣2n=(b﹣1)Sn

(Ⅰ)证明:当b=2时,{an﹣n•2n﹣1}是等比数列;

(Ⅱ)求{an}的通项公式.

 

【考点】8B:数列的应用.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;14:证明题.

【分析】(Ⅰ)当b=2时,由题设条件知an+1=2an+2n.由此可知an+1﹣(n+1)•2n=2an+2n﹣(n+1)•2n=2(an﹣n•2n﹣1),所以{an﹣n•2n﹣1}是首项为1,公比为2的等比数列.

(Ⅱ)当b=2时,由题设条件知an=(n+1)2n﹣1;当b2时,由题意得539dfb351f724f51a471dcadb7693192.Png=560d102b556f487a90bc98ee0aae32c7.Png,由此能够导出{an}的通项公式.

【解答】解:(Ⅰ)当b=2时,由题意知2a1﹣2=a1,解得a1=2,

且ban﹣2n=(b﹣1)Sn

ban+1﹣2n+1=(b﹣1)Sn+1

两式相减得b(an+1﹣an)﹣2n=(b﹣1)an+1

即an+1=ban+2n

当b=2时,由知an+1=2an+2n

于是an+1﹣(n+1)•2n=2an+2n﹣(n+1)•2n=2(an﹣n•2n﹣1

又a1﹣1•20=10,所以{an﹣n•2n﹣1}是首项为1,公比为2的等比数列.

(Ⅱ)当b=2时,由(Ⅰ)知an﹣n•2n﹣1=2n﹣1

即an=(n+1)2n﹣1

当b2时,由87823ba529e34ae7be946ad15207f2a3.Png

=c168654a0b304e2cbf49ece98ede04c0.Png=35a67b12d64d4ab98d6b2d83855c219b.Png

因此1a9f116e69dc464aa11923b585afb2aa.Png=2bc4e4d552cc4ca59f76a8c68fdae6c5.Png

e755ccd46a094a4aab27e83b5e6d3081.Png

所以25df122bb4624474974845d15831dd67.Png

【点评】此题重点考查数列的递推公式,利用递推公式求数列的通项公式,同时考查分类讨论思想;推移脚标两式相减是解决含有Sn的递推公式的重要手段,使其转化为不含Sn的递推公式,从而针对性的解决;在由递推公式求通项公式是重视首项是否可以吸收是易错点,同时重视分类讨论,做到条理清晰是关键.

 

21.(12分)设椭圆2140c2339847423ab630f7a0d5b5dae6.Png,({ab0})的左右焦点分别为F1,F2,离心率79fd70809d2e42fd8f1206cc440d25e0.Png,右准线为l,M,N是l上的两个动点,38c633e701554c8d8a3ec19678539c9e.Png

(Ⅰ)若e6cd1aedd1e744ddb956d28f999592df.Png,求a,b的值;

(Ⅱ)证明:当|MN|取最小值时,e57642c3571d454389c0136e4f13855c.Pngc046d0814b014eb191fe9397a75b102a.Png共线.

55bc2ebd63c9425fa908c63250a737d5.Png 

 

【考点】K4:椭圆的性质.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;16:压轴题.

【分析】(Ⅰ)设cab4fd5095234d619579b6e602c2e310.Png,根据题意由d834832faf6146db871395377392e4f2.Png8ab55236c68d4c89b66ed82d27aa1908.Png,由dd75e94c10424a908d2e69326c0b18b0.Png,得060361eec21d452481ed74666e72a835.Pnge901183b0eca4fb7956d0646c78c182a.Png,由此可以求出a,b的值.

(Ⅱ)|MN|2=(y1﹣y22=y12+y22﹣2y1y2﹣2y1y2﹣2y1y2=﹣4y1y2=6a2.当且仅当b435d93a1cc94609963cb0cbeeeabe28.Pngcd73b5cd476d48f1af6680bb740d85ee.Png时,|MN|取最小值3c6a3be533bc448491b2bc8e342428f1.Png,由能够推导出ec03c06abc01425a822c8388492ec283.Png5831f02ba5af4019b2695b8ffe33be7b.Png共线.

【解答】解:由a2﹣b2=c295445419e0444111a59871e3b31ddac7.Png,得a2=2b22a65bea6517e4fcb93af1d8dd606570b.Png,l的方程为9977592e40124c09a4fb9593351cbd9d.Png

1ac8d15238104e35a055331f4df619b4.Png

fb5fa93dbf964c0a98a849e6511f86e3.Png

d630b511dc564a02b0b716bc4b774691.Pngb9437ba37e014dfbb1894b3f8ddab4cf.Png

(Ⅰ)由6788afa77c944c96b0aa70de66eb99cb.Png,得c32f7b1ee52642d6ba4634d600ccb7eb.Png4bcbd6dedf7841f5b1da5ed31abb9d59.Png

三式,消去y1,y2,并求得a2=4

40be5cfa135e439993c3dcb6b4bd5c12.Png

(Ⅱ)证明:|MN|2=(y1﹣y22=y12+y22﹣2y1y2﹣2y1y2﹣2y1y2=﹣4y1y2=6a2

当且仅当d1cd471a38374fc9a0fadd9344a749a7.Png7939bc80c992404fb03c1f4d6b22d7b7.Png时,|MN|取最小值4036d876297348178b8a38b32ba2259c.Png

此时,bd48408797734c65a324fdd0c1d7b8ac.Png

a4561490b2f24806a9347b6ad7214417.Png47e80c9724ac430aab3c361d469bd5f1.Png共线.

【点评】此题重点考查椭圆中的基本量的关系,进而求椭圆待定常数,考查向量的综合应用;熟悉椭圆各基本量间的关系,数形结合,熟练地进行向量的坐标运算,设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用.

 

22.(14分)已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2﹣10x的一个极值点.

(Ⅰ)求a;

(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;

(Ⅲ)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点,求b的取值范围.

 

【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6C:函数在某点取得极值的条件.菁优网版权所有

【专题】11:计算题;16:压轴题;44:数形结合法.

【分析】(Ⅰ)先求导db8283b8a3be42f9b689c28d53a2092b.Png,再由x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2﹣10x的一个极值点即f785d5ff926a48dd85df117fac1b64b8.Png求解.

(Ⅱ)由(Ⅰ)确定f(x)=16ln(1+x)+x2﹣10x,x(﹣1,+∞),再由f′(x)0和f′(x)0求得单调区间.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,f(x)在(﹣1,1)内单调增加,在(1,3)内单调减少,在(3,+∞)上单调增加,且当x=1或x=3时,f′(x)=0,可得f(x)的极大值为f(1),极小值为f(3),再由直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点则须有f(3)bf(1)求解,因此,b的取值范围为(32ln2﹣21,16ln2﹣9).

【解答】解:(Ⅰ)因为722be4e71af842e39565b3d22f70610c.Png

所以f25968e801114506b28b259b13099e60.Png

因此a=16

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=16ln(1+x)+x2﹣10x,x(﹣1,+∞),ed1a221495f34b68b5db6b828923b379.Png

当x(﹣1,1)(3,+∞)时,f′(x)0

当x(1,3)时,f′(x)0

所以f(x)的单调增区间是(﹣1,1),(3,+∞),f(x)的单调减区间是(1,3)

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,f(x)在(﹣1,1)内单调增加,

在(1,3)内单调减少,在(3,+∞)上单调增加,且当x=1或x=3时,f′(x)=0

所以f(x)的极大值为f(1)=16ln2﹣9,极小值为f(3)=32ln2﹣21

因此f(16)162﹣10×1616ln2﹣9=f(1),f(e﹣2﹣1)﹣32+11=﹣21f(3)

所以在f(x)的三个单调区间(﹣1,1),(1,3),(3,+∞)直线y=b有y=f(x)的图象各有一个交点,当且仅当f(3)bf(1)

因此,b的取值范围为(32ln2﹣21,16ln2﹣9).

【点评】此题重点考查利用求导研究函数的单调性,最值问题,函数根的问题;熟悉函数的求导公式,理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键,数形结合理解函数的取值范围.

 


来源: 四川省地方志工作办公室
终审:何晓波
分享到:
【打印正文】