2012年四川省高考数学试卷（理科）

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）（1+x）⁷的展开式中x²的系数是（　　）

A．42B．35 C．28 D．21 

2．（5分）复数=（　　）

A．1B．﹣1 C．i D．﹣i 

3．（5分）函数在x=3处的极限是（　　）

A．不存在B．等于6 C．等于3 D．等于0 

4．（5分）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin∠CED=（　　）

A．B． C． D． 

5．（5分）函数f（x）=a^x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（　　）

A．B． 

C．D． 

6．（5分）下列命题正确的是（　　）

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

7．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（　　）

A．B． 

C．D．且 

8．（5分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y₀）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（　　）

A．B． C．4 D． 

9．（5分）某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（　　）

A．1800元B．2400元 C．2800元 D．3100元 

10．（5分）如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A、P两点间的球面距离为（　　）

A．               B． C． D． 

11．（5分）方程ay=b²x²+c中的a，b，c∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（　　）

A．60条B．62条 C．71条 D．80条 

12．（5分）设函数f（x）=2x﹣cosx，{a_n}是公差为的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=5π，则=（　　）

A．0B． C． D． 

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题纸的相应位置上．）

13．（4分）设全集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c，d}，则（∁_UA）∪（∁_UB）=　   　．

14．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是CD、CC₁的中点，则异面直线A₁M与DN所成的角的大小是　   　．

15．（4分）椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是　   　．

16．（4分）记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1，[﹣0.3]=﹣1．设a为正整数，数列{x_n}满足x₁=a，，现有下列命题：

①当a=5时，数列{x_n}的前3项依次为5，3，2；

②对数列{x_n}都存在正整数k，当n≥k时总有x_n=x_k；

③当n≥1时，；

④对某个正整数k，若x_k+1≥x_k，则．

其中的真命题有　   　．（写出所有真命题的编号）

三、解答题（本大题共6个小题，共74分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（12分）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．

（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；

（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．

18．（12分）函数f（x）=6cos²sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．

（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；

（Ⅱ）若f（x₀）=，且x₀∈（﹣），求f（x₀+1）的值．

19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．

（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；

（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．

20．（12分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂a_n=S₂+S_n对一切正整数n都成立．

（Ⅰ）求a₁，a₂的值；

（Ⅱ）设a₁＞0，数列{lg}的前n项和为T_n，当n为何值时，T_n最大？并求出T_n的最大值．

21．（12分）如图，动点M到两定点A（﹣1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C．

（Ⅰ）求轨迹C的方程；

（Ⅱ）设直线y=﹣2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．

22．（14分）已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．

（Ⅰ）用a和n表示f（n）；

（Ⅱ）求对所有n都有成立的a的最小值；

（Ⅲ）当0＜a＜1时，比较与的大小，并说明理由．

‎ 

2012年四川省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）（1+x）⁷的展开式中x²的系数是（　　）

A．42B．35 C．28 D．21 

【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】由题设，二项式（1+x）⁷，根据二项式定理知，x²项是展开式的第三项，由此得展开式中x²的系数是，计算出答案即可得出正确选项

【解答】解：由题意，二项式（1+x）⁷的展开式通项是T_r+1=x^r

故展开式中x²的系数是=21

故选：D．

【点评】本题考查二项式定理的通项，熟练掌握二项式的性质是解题的关键

2．（5分）复数=（　　）

A．1B．﹣1 C．i D．﹣i 

【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】由题意，可先对分子中的完全平方式展开，整理后即可求出代数式的值，选出正确选项

【解答】解：由题意得，

故选：B．

【点评】本题考查复合代数形式的混合运算，解题的关键是根据复数的运算规则化简分子

3．（5分）函数在x=3处的极限是（　　）

A．不存在B．等于6 C．等于3 D．等于0 

【考点】6F：极限及其运算．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】对每一段分别求出其极限值，通过结论即可得到答案．

【解答】解：∵=x+3；

∴f（x）=（）=6；

而f（x）=[ln（x﹣2）]=0．

即左右都有极限，但极限值不相等．

故函数在x=3处的极限不存在．

故选：A．

【点评】本题主要考察函数的极限及其运算．分段函数在分界点处极限存在的条件是：两段的极限都存在，且相等．

4．（5分）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin∠CED=（　　）

A．B． C． D． 

【考点】G9：任意角的三角函数的定义；GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有

【专题】57：三角函数的图像与性质．

【分析】法一：用余弦定理在三角形CED中直接求角的余弦，再由同角三角关系求正弦；

法二：在三角形CED中用正弦定理直接求正弦．

【解答】解：法一：利用余弦定理

在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，

由余弦定理得cos∠CED=，

∴sin∠CED==．

故选B．

法二：在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，∠CDE=135°，

由正弦定理得，即．

故选：B．

【点评】本题综合考查了正弦定理和余弦定理，属于基础题，题后要注意总结做题的规律．

5．（5分）函数f（x）=a^x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（　　）

A．        B． 

C．     D． 

【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有

【专题】51：函数的性质及应用．

【分析】先判断函数的单调性，再判断函数恒经过点（﹣1，0），问题得以解决．

【解答】解：当0＜a＜1时，函数f（x）=a^x﹣，为减函数，

当a＞1时，函数f（x）=a^x﹣，为增函数，

且当x=﹣1时f（﹣1）=0，即函数恒经过点（﹣1，0），

故选：D．

【点评】本题主要考查了函数的图象和性质，求出函数恒经过点是关键，属于基础题．

6．（5分）下列命题正确的是（　　）

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

【考点】2K：命题的真假判断与应用；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有

【专题】5L：简易逻辑．

【分析】利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．

【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；

B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；

C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；

D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．

故选：C．

【点评】本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题．

7．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（　　）

A．B． C． D．且 

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；96：平行向量（共线）．菁优网版权所有

【专题】5L：简易逻辑．

【分析】利用向量共线的充要条件，求已知等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件

【解答】解：⇔⇔与共线且同向⇔且λ＞0，

故选：C．

【点评】本题主要考查了向量共线的充要条件，命题的充分和必要性，属基础题．

8．（5分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y₀）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（　　）

A．B． C．4 D． 

【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】关键点M（2，y₀）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|．

【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y²=2px（p＞0）

∵点M（2，y₀）到该抛物线焦点的距离为3，

∴2+=3

∴p=2

∴抛物线方程为y²=4x

∵M（2，y₀）

∴

∴|OM|=

故选：B．

【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程．

9．（5分）某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（　　）

A．1800元B．2400元 C．2800元 D．3100元 

【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有

【专题】12：应用题．

【分析】根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可．

【解答】解：设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元

则根据题意可得，z=300x+400y

作出不等式组表示的平面区域，如图所示

作直线L：3x+4y=0，然后把直线向可行域平移，

由可得x=y=4，

此时z最大z=2800

【点评】本题考查用线性规划知识求利润的最大值，这是简单线性规划的一个重要运用，解题的关键是准确求出目标函数及约束条件

10．（5分）如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A、P两点间的球面距离为（　　）

A．B． C． D． 

【考点】HV：反三角函数；L*：球面距离及相关计算．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】由法一：利用三面角公式，转化求解圆心角，然后求解球面距离．

另解：题意求出AP的距离，然后求出∠AOP，即可求解A、P两点间的球面距离．

【解答】解：法一：作AM⊥OB于M，MN⊥OP于N，连AN，

记角∠AOM、∠MON、∠AON分别为x、y、z，

则 cosx=，cosy=，cosz==cosx cosy

由题意 x=45° y=60°，∴cosz==，

故 A与P球面距离为：R arccos．

故选：A．

另解：半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，所以CD⊥平面AOB，

因为∠BOP=60°，所以△OPB为正三角形，P到BO的距离为PE=，E为BO的中点，AE==，

AP==，

AP²=OP²+OA²﹣2OP•OAcos∠AOP，，

cos∠AOP=，∠AOP=arccos，

A、P两点间的球面距离为，

故选：A．

【点评】本题考查反三角函数的运用，球面距离及相关计算，三面角公式的应用，考查计算能力以及空间想象能力．

11．（5分）方程ay=b²x²+c中的a，b，c∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（　　）

A．60条B．62条 C．71条 D．80条 

【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有

【专题】15：综合题；16：压轴题．

【分析】方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，所以分b=﹣3，﹣2，1，2，3五种情况，利用列举法可解．

【解答】解：方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，所以分b=﹣3，﹣2，1，2，3五种情况：

（1）当b=﹣3时，a=﹣2，c=0，1，2，3或a=1，c=﹣2，0，2，3或a=2，c=﹣2，0，1，3或a=3，c=﹣2，0，1，2；

（2）当b=3时，a=﹣2，c=0，1，2，﹣3或a=1，c=﹣2，0，2，﹣3或a=2，c=﹣2，0，1，﹣3或a=﹣3，c=﹣2，0，1，2；

以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条；

（3）同理当b=﹣2或b=2时，共有16+7=23条；

（4）当b=1时，a=﹣3，c=﹣2，0，2，3或a=﹣2，c=﹣3，0，2，3或a=2，c=﹣3，﹣2，0，3或a=3，c=﹣3，﹣2，0，2；

共有16条．

综上，共有23+23+16=62种

故选：B．

【点评】此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的9条抛物线．列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法．要能熟练运用

12．（5分）设函数f（x）=2x﹣cosx，{a_n}是公差为的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=5π，则=（　　）

A．0B． C． D． 

【考点】8N：数列与三角函数的综合．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．

【分析】解法1：由f（x）=2x﹣cosx，又{a_n}是公差为的等差数列，可求得f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=10a₃﹣cosa₃（1++），由题意可求得a₃=，从而可求得答案．

解法2：依题意可化简得10a₃﹣2cosa₃cos﹣2cosa₃cos﹣cosa₃=5π，构造函数g（a₃）=10a₃﹣2cosa₃cos﹣2cosa₃cos﹣cosa₃，利用导数可判断函数单调增，从而求得a₃=，继而可得答案．

【解答】解法1：∵f（x）=2x﹣cosx，

∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=2（a₁+a₂+…+a₅）﹣（cosa₁+cosa₂+…+cosa₅），

∵{a_n}是公差为的等差数列，

∴a₁+a₂+…+a₅=5a₃，由和差化积公式可得，

cosa₁+cosa₂+…+cosa₅

=（cosa₁+cosa₅）+（cosa₂+cosa₄）+cosa₃

=[cos（a₃﹣×2）+cos（a₃+×2）]+[cos（a₃﹣）+cos（a₃+）]+cosa₃

=2coscos+2coscos+cosa₃

=2cosa₃•+2cosa₃•cos（﹣）+cosa₃

=cosa₃（1++），

∵f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=5π，

∴10a₃﹣cosa₃（1++）=5π，

∴cosa₃=0，10a₃=5π，

故a₃=，

∴

=π²﹣（﹣）•

=π²﹣

=．

解法2：由已知，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=2（a₁+a₂+…+a₅）﹣（cosa₁+cosa₂+…+cosa₅）

=10a₃﹣cos（a₃﹣）﹣cos（a₃﹣）﹣cosa₃﹣cos（a₃+）﹣cos（a₃+）=5π，

化简得10a₃﹣2cosa₃cos﹣2cosa₃cos﹣cosa₃=5π，

令g（a₃）=10a₃﹣2cosa₃cos﹣2cosa₃cos﹣cosa₃，

则g’（a₃）=10+（2cos+2cos+1）sina₃＞0，

所以g（a₃）单调递增，

而a₃=显然是其一个解，

所以g（a₃）=5π有且只有a₃=一个解

∴

=π²﹣（﹣）•

=π²﹣

=．

故选：D．

【点评】本题考查数列与三角函数的综合，求得cosa₃=0，继而求得a₃=是关键，也是难点，考查分析，推理与计算能力，属于难题．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题纸的相应位置上．）

13．（4分）设全集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c，d}，则（∁_UA）∪（∁_UB）=　{a，c，d}　．

【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有

【专题】5J：集合．

【分析】由题意全集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c，d}，可先求出两集合A，B的补集，再由并的运算求出（∁_UA）∪（∁_UB）

【解答】解：集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c，d}，

所以∁_UA={c，d}，∁_UB={a}，

所以（∁_UA）∪（∁_UB）={a，c，d}

故答案为{a，c，d}

【点评】本题考查交、并、补集的混合计算，解题的关键是熟练掌握交、并、补集的计算规则

14．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是CD、CC₁的中点，则异面直线A₁M与DN所成的角的大小是　90°　．

【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A₁M与DN所成的角．

【解答】解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，

则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A₁（2，0，2），=（0，2，1），=（﹣2，1，﹣2）

•=0，所以⊥，即A₁M⊥DN，异面直线A₁M与DN所成的角的大小是90°，

故答案为：90°．

【点评】本题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法．向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确．否则容易由于计算失误而出错．

15．（4分）椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是　3　．

【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】先画出图象，结合图象得到△FAB的周长最大时对应的直线所在位置．即可求出结论．

【解答】解：设椭圆的右焦点为E．如图：

由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE；

∵AE+BE≥AB；

∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；

∴AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；

即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；

此时△FAB的高为：EF=2．

此时直线x=m=c=1；

把x=1代入椭圆的方程得：y=±．

∴AB=3．

所以：△FAB的面积等于：S_△FAB=×3×EF=×3×2=3．

故答案为：3．

【点评】本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．解决本题的关键在于利用定义求出周长的表达式．

16．（4分）记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1，[﹣0.3]=﹣1．设a为正整数，数列{x_n}满足x₁=a，，现有下列命题：

①当a=5时，数列{x_n}的前3项依次为5，3，2；

②对数列{x_n}都存在正整数k，当n≥k时总有x_n=x_k；

③当n≥1时，；

④对某个正整数k，若x_k+1≥x_k，则．

其中的真命题有　①③④　．（写出所有真命题的编号）

【考点】2K：命题的真假判断与应用．菁优网版权所有

【专题】14：证明题；16：压轴题；23：新定义．

【分析】按照给出的定义对四个命题结合数列的知识逐一进行判断真假，①列举即可；②需举反例；③可用数学归纳法加以证明；④可由归纳推理判断其正误．

【解答】解：①当a=5时，x₁=5，

，

，

∴①正确．

②当a=8时，x₁=8，

∴此数列从第三项开始为3，2，3，2，3，2…为摆动数列，故②错误；

③当n=1时，x₁=a，∵a﹣（）=＞0，∴x₁=a＞成立，

假设n=k时，，

则n=k+1时，，

∵≥≥=（当且仅当x_k=时等号成立），

∴＞，

∴对任意正整数n，当n≥1时，；③正确；

④≥x_k，

由数列①②规律可知一定成立

故正确答案为①③④

【点评】本题主要考查了数列递推公式的应用，归纳推理和演绎推理的方法，直接证明和间接证明方法，数学归纳法的应用，难度较大，需有较强的推理和思维能力

三、解答题（本大题共6个小题，共74分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（12分）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．

（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；

（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．

【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】（Ⅰ）求出“至少有一个系统不发生故障”的对立事件的概率，利用至少有一个系统不发生故障的概率为，可求p的值；

（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．

【解答】解：（Ⅰ）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，则

∴；

（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3

P（ξ=0）=；P（ξ=1）=；

P（ξ=2）==；P（ξ=3）=；

∴ξ的分布列为

数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=

【点评】本题考查概率知识的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．

18．（12分）函数f（x）=6cos²sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．

（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；

（Ⅱ）若f（x₀）=，且x₀∈（﹣），求f（x₀+1）的值．

【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；H4：正弦函数的定义域和值域；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；15：综合题．

【分析】（Ⅰ）将f（x）化简为f（x）=2sin（ωx+），利用正弦函数的周期公式与性质可求ω的值及函数f（x）的值域；

（Ⅱ）由，知x₀+∈（﹣，），由，可求得即sin（x₀+）=，利用两角和的正弦公式即可求得f（x₀+1）．

【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，f（x）=3cosωx+sinωx=2sin（ωx+），

又正三角形ABC的高为2，从而BC=4，

∴函数f（x）的周期T=4×2=8，即=8，ω=，

∴函数f（x）的值域为[﹣2，2]．

（Ⅱ）∵f（x₀）=，由（Ⅰ）有f（x₀）=2sin（x₀+）=，

即sin（x₀+）=，由，知x₀+∈（﹣，），

∴cos（x₀+）==．

∴f（x₀+1）=2sin（x₀++）=2sin[（x₀+）+]=2[sin（x₀+）cos+cos（x₀+）sin]

=2（×+×）

=．

【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查三角函数的化简求值与正弦函数的性质，考查分析转化与运算能力，属于中档题．

19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．

（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；

（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．

【考点】MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有

【分析】解法一（Ⅰ）设AB中点为D，AD中点为O，连接OC，OP，CD．可以证出∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角．不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4．在RT△OCP中求解．

（Ⅱ）以O为原点，建立空间直角坐标系，利用平面APC的一个法向量与面ABP的一个法向量求解．

解法二（Ⅰ）设AB中点为D，连接CD．以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用与平面ABC的一个法向量夹角求解．

（Ⅱ）分别求出平面APC，平面ABP的一个法向量，利用两法向量夹角求解．

【解答】解法一

（Ⅰ）设AB中点为D，AD中点为O，连接OC，OP，CD．

因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，

因为∠APB=90°，∠PAB=60°，所以△PAD为等边三角形，所以PO⊥AD，又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AD．

PO⊥平面ABC，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角

不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4．

所以CD=2，OC===

在RT△OCP中，tan∠OCP===．

故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan．

（Ⅱ）过D作DE⊥AP于E，连接CE．

由已知，可得CD⊥平面PAB．根据三垂线定理知，CE⊥PA．所以∠CED为二面角

B﹣AP﹣C的平面角．由（Ⅰ）知，DE=，在RT△CDE中，tan∠CED===2，故二面角B﹣AP﹣C的大小为arctan2．

解法二：（Ⅰ）设AB中点为D，连接CD．因为O在AB上，且O为P在平面ABC内的射影，

所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB，且PO⊥CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，设E为AC中点，则EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB．

如图，以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设PA=2，由已知可得，AB=4，OA=OD=1，OP=，

CD=2，所以O（0，0，0），A（﹣1，0，0），C（1，2，0），P（0，0，），所以=（﹣1，﹣2，）=（0，0，）为平面ABC的一个法向量．

设α为直线PC与平面ABC所成的角，则sinα===．故直线PC与平面ABC所成的角大小为arcsin

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=（1，0，），=（2，2，0）．

设平面APC的一个法向量为=（x，y，z），则由得出即，

取x=﹣，则y=1，z=1，所以=（﹣，1，1）．设二面角B﹣AP﹣C的平面角为β，易知β为锐角．

而面ABP的一个法向量为=（0，1，0），则cosβ===．

故二面角B﹣AP﹣C的大小为arccos．

【点评】本题考查线面关系，直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题能力．

20．（12分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂a_n=S₂+S_n对一切正整数n都成立．

（Ⅰ）求a₁，a₂的值；

（Ⅱ）设a₁＞0，数列{lg}的前n项和为T_n，当n为何值时，T_n最大？并求出T_n的最大值．

【考点】82：数列的函数特性；8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有

【专题】11：计算题．

【分析】（Ⅰ）由题意，n=2时，由已知可得，a₂（a₂﹣a₁）=a₂，分类讨论：由a₂=0，及a₂≠0，分别可求a₁，a₂

（Ⅱ）由a₁＞0，令，可知==，结合数列的单调性可求和的最大项

【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a₂a₁=S₂+S₁=2a₁+a₂①

当n=2时，得②

②﹣①得，a₂（a₂﹣a₁）=a₂③

若a₂=0，则由①知a₁=0，

若a₂≠0，则a₂﹣a₁=1④

①④联立可得或

综上可得，a₁=0，a₂=0或或

（Ⅱ）当a₁＞0，由（Ⅰ）可得

当n≥2时，，

∴

∴（n≥2）

∴=

令

由（Ⅰ）可知==

∴{b_n}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2

∴b₁＞b₂＞…＞b₇=

当n≥8时，

∴数列的前7项和最大，==7﹣

【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力．

21．（12分）如图，动点M到两定点A（﹣1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C．

（Ⅰ）求轨迹C的方程；

（Ⅱ）设直线y=﹣2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．

【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；KK：圆锥曲线的轨迹问题．菁优网版权所有

【专题】15：综合题；16：压轴题．

【分析】（Ⅰ）设出点M（x，y），分类讨论，根据∠MBA=2∠MAB，利用正切函数公式，建立方程化简即可得到点M的轨迹方程；

（Ⅱ）直线y=﹣2x+m与3x²﹣y²﹣3=0（x＞1）联立，消元可得x²﹣4mx+m²+3=0①，利用①有两根且均在（1，+∞）内

可知，m＞1，m≠2设Q，R的坐标，求出x_R，x_Q，利用，即可确定的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），显然有x＞0，且y≠0

当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，±3）

当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA=，

化简可得3x²﹣y²﹣3=0

而点（2，±3）在曲线3x²﹣y²﹣3=0上

综上可知，轨迹C的方程为3x²﹣y²﹣3=0（x＞1）；

（Ⅱ）直线y=﹣2x+m与3x²﹣y²﹣3=0（x＞1）联立，消元可得x²﹣4mx+m²+3=0①

∴①有两根且均在（1，+∞）内

设f（x）=x²﹣4mx+m²+3，∴，∴m＞1，m≠2

设Q，R的坐标分别为（x_Q，y_Q），（x_R，y_R），

∵|PQ|＜|PR|，∴x_R=2m+，x_Q=2m﹣，

∴==

∵m＞1，且m≠2

∴，且

∴，且

∴的取值范围是（1，7）∪（7，7+4）

【点评】本题以角的关系为载体，考查直线、双曲线、轨迹方程的求解，考查思维能力，运算能力，考查思维的严谨性，解题的关键是确定参数的范围．

22．（14分）已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．

（Ⅰ）用a和n表示f（n）；

（Ⅱ）求对所有n都有成立的a的最小值；

（Ⅲ）当0＜a＜1时，比较与的大小，并说明理由．

【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；KI：圆锥曲线的综合．菁优网版权所有

【专题】15：综合题；16：压轴题．

【分析】（Ⅰ）根据抛物线与x轴正半轴相交于点A，可得A（），进一步可求抛物线在点A处的切线方程，从而可得f（n）；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=aⁿ，则成立的充要条件是aⁿ≥2n³+1，即知，aⁿ≥2n³+1对所有n成立，当a=，n≥3时，aⁿ＞4ⁿ=（1+3）ⁿ＞2n³+1，当n=0，1，2时，，由此可得a的最小值；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a^k，证明当0＜x＜1时，，即可证明：．

【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线与x轴正半轴相交于点A，∴A（）

对求导得y′=﹣2x

∴抛物线在点A处的切线方程为，∴

∵f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，∴f（n）=aⁿ；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=aⁿ，则成立的充要条件是aⁿ≥2n³+1

即知，aⁿ≥2n³+1对所有n成立，特别的，取n=2得到a≥

当a=，n≥3时，aⁿ＞4ⁿ=（1+3）ⁿ≥1+=1+2n³+＞2n³+1

当n=0，1，2时，

∴a=时，对所有n都有成立

∴a的最小值为；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a^k，下面证明：

首先证明：当0＜x＜1时，

设函数g（x）=x（x²﹣x）+1，0＜x＜1，则g′（x）=x（x﹣）

当0＜x＜时，g′（x）＜0；当时，g′（x）＞0

故函数g（x）在区间（0，1）上的最小值g（x）_min=g（）=0

∴当0＜x＜1时，g（x）≥0，∴

由0＜a＜1知0＜a^k＜1，因此，

从而=≥=＞=

【点评】本题考查圆锥曲线的综合，考查不等式的证明，考查导数的几何意义，综合性强，属于中档题．