2011年四川省高考数学试卷（理科）（含解析版）_理科数学_2000年以后试题_四川高考题_四川印象

2011年四川省高考数学试卷（理科）（含解析版）

来源：四川省地方志工作办公室发布时间：2019-05-13 16:46:26 浏览次数：次【字体：小大】

2011年四川省高考数学试卷（理科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11.5，15.5）2；[15.5，19.5）4；[19.5，23.5）9；[23.5，27.5）18；

[27.5，31.5）11；[31.5，35.5）12；[35.5，39.5）7；[39.5，43.5）3．

根据样本的频率分布估计，数据[31.5，43.5）的概率约是（　　）

A．B． C． D．

2．（5分）复数=（　　）

A．﹣2iB． C．0 D．2i

3．（5分）l₁，l₂，l₃是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（　　）

A．l₁⊥l₂，l₂⊥l₃⇒l₁∥l₃

B．l₁⊥l₂，l₂∥l₃⇒l₁⊥l₃

C．l₁∥l₂∥l₃⇒l₁，l₂，l₃共面

D．l₁，l₂，l₃共点⇒l₁，l₂，l₃共面

4．（5分）如图，正六边形ABCDEF中，=（　　）

A．B． C． D．

5．（5分）函数f（x）在点x=x₀处有定义是f（x）在点x=x₀处连续的（　　）

A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件

C．充要条件D．既不充分也不必要的条件

6．（5分）在△ABC中，sin²A≤sin²B+sin²C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（　　）

A．（0，] B．[，π） C．（0，] D．[，π）

7．（5分）已知f（x）是R的奇函数，且当x＞0时，，则f（x）的反函数的图象大致是（　　）

A．B．

C．D．

8．（5分）数列{a_n}的首项为3，{b_n}为等差数列且b_n=a_n₊₁﹣a_n（n∈N^*），若b₃=﹣2，b₁₀=12，则a₈=（　　）

A．0B．3 C．8 D．11

9．（5分）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；每送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z=（　　）

A．4650元B．4700元 C．4900元 D．5000元

10．（5分）在抛物线y=x²+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x₁=﹣4，x₂=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x²+5y²=36相切，则抛物线顶点的坐标为（　　）

A．（﹣2，﹣9）B．（0，﹣5） C．（2，﹣9） D．（1，6）

11．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x²+2x，设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a_n（n∈N⁺）且{a_n}的前n项和为S_n，则=（　　）

A．3B． C．2 D．

12．（5分）在集合1，2，3，4，5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量=（a，b）从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作为平行四边形的个数为n，其中面积不超过4的平行四边形的个数m，则=（　　）

A．B． C． D．

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13．（4分）计算÷=　　．

14．（4分）双曲线﹣=1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是　　．

15．（4分）如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是　　．

16．（4分）函数f（x）的定义域为A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：

①函数f（x）=x²（x∈R）是单函数；

②若f（x）为单函数，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；

③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；

④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．

其中的真命题是　　．（写出所有真命题的编号）

三、解答题（共6小题，满分74分）

17．（12分）已知函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣），x∈R

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最小值；

（Ⅱ）已知cos（β﹣α）=，cos（β+α）=﹣.0＜α＜β，求证：[f（β）]²﹣2=0．

18．（12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．

（Ⅰ）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率．

（Ⅱ）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，D是棱CC₁上的一点，P是AD的延长线与A₁C₁的延长线的交点，且PB₁∥平面BDA₁

（Ⅰ）求证：CD=C₁D；

（Ⅱ）求二面角A﹣A₁D﹣B的平面角的余弦值；

（Ⅲ）求点C到平面B₁DP的距离．

20．（12分）设d为非零实数，

（Ⅰ）写出a₁，a₂，a₃并判断﹛a_n﹜是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；

（Ⅱ）设b_n=nda_n（n∈N*），求数列﹛b_n﹜的前n项和S_n．

21．（12分）椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．

（Ⅰ）当|CD|=时，求直线l的方程；

（Ⅱ）当点P异于A、B两点时，求证：为定值．

22．（14分）已知函数f（x）=x+，h（x）=．

（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）﹣h（x），求F（x）的单调区间与极值；

（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程log₄[f（x﹣1）﹣]=log₂h（a﹣x）﹣log₂h（4﹣x）；

（Ⅲ）试比较f（100）h（100）﹣与的大小．

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2011年四川省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11.5，15.5）2；[15.5，19.5）4；[19.5，23.5）9；[23.5，27.5）18；

[27.5，31.5）11；[31.5，35.5）12；[35.5，39.5）7；[39.5，43.5）3．

根据样本的频率分布估计，数据[31.5，43.5）的概率约是（　　）

A．B． C． D．

【专题】11：计算题．

【分析】根据所给的数据的分组及各组的频数，得到符合条件的数据共有的个数，又知这组数据的总数是66，根据等可能事件的概率个数得到结果．

【解答】解：根据所给的数据的分组及各组的频数得到：

数据在[31.5，43.5）范围的有[31.5，35.5）12；[35.5，39.5）7；[39.5，43.5）3，

∴满足题意的数据有12+7+3=22个，

总的数据有66个，

根据等可能数据的概率得到P=，

故选：B．

【点评】本题考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，考查频率分布表的应用，考查等可能事件的概率，是一个必得分题目．

2．（5分）复数=（　　）

A．﹣2iB． C．0 D．2i

【专题】11：计算题．

【分析】直接对复数的分母、分子同乘i，然后化简即可．

【解答】解：复数==﹣2i

故选：A．

【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．

3．（5分）l₁，l₂，l₃是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（　　）

A．l₁⊥l₂，l₂⊥l₃⇒l₁∥l₃

B．l₁⊥l₂，l₂∥l₃⇒l₁⊥l₃

C．l₁∥l₂∥l₃⇒l₁，l₂，l₃共面

D．l₁，l₂，l₃共点⇒l₁，l₂，l₃共面

【专题】14：证明题．

【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．

【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；

对于B，∵l₁⊥l₂，∴l₁，l₂所成的角是90°，又∵l₂∥l₃∴l₁，l₃所成的角是90°∴l₁⊥l₃，B对；

对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；

对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．

故选：B．

【点评】本题考查两直线垂直的定义、考查判断线面的位置关系时常借助常见图形中的边面的位置关系得到启示．

4．（5分）如图，正六边形ABCDEF中，=（　　）

A．B． C． D．

【专题】11：计算题．

【分析】根据正六边形对边平行且相等的性质，我们可得=，=，然后根据平面向量加法的三角形法则，即可得到答案．

【解答】解：根据正六边形的性质，我们易得

故选：D．

【点评】本题考查的知识点是向量的加法及其几何意义，其中根据正六边形的性质得到=，=是解答本题的关键．

5．（5分）函数f（x）在点x=x₀处有定义是f（x）在点x=x₀处连续的（　　）

A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件

C．充要条件D．既不充分也不必要的条件

【专题】21：阅读型．

【分析】由f（x）在点x=x₀处连续的定义，函数f（x）在点x=x₀处有定义；但是函数f（x）在点x=x₀处有定义，f（x）在点x=x₀处不一定连续，分析选项可得答案．

【解答】解：由f（x）在点x=x₀处连续的定义，可知f（x）在点x=x₀处连续⇒函数f（x）在点x=x₀处有定义；

反之不成立．故为必要而不充分的条件

故选：B．

【点评】本题考查函数在某点连续的概念和充要条件的判断，属基本概念的考查．

6．（5分）在△ABC中，sin²A≤sin²B+sin²C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（　　）

A．（0，] B．[，π） C．（0，] D．[，π）

【专题】56：三角函数的求值．

【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围，进而求得A的范围．

【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，

∵sin²A≤sin²B+sin²C﹣sinBsinC，

∴a²≤b²+c²﹣bc，

∴bc≤b²+c²﹣a²

∴cosA=≥

∴A≤

∵A＞0

∴A的取值范围是（0，]

故选：C．

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆．

7．（5分）已知f（x）是R的奇函数，且当x＞0时，，则f（x）的反函数的图象大致是（　　）

A．B．

C．D．

【专题】15：综合题；31：数形结合．

【分析】根据已知条件我们易得f（x）的反函数也为奇函数，根据x＞0时，函数的解析式，我们易求出反函数的解析式及定义域，分析其性质判断反函数图象的形状，并逐一分析四个答案，即可得到结论．

【解答】解：∵f（x）是R的奇函数，

故f（x）的反函数也为奇函数，

又∵x＞0时，

此时其反函数（1＜x＜2）

分析四个答案，发现只有A答案满足条件

故选：A．

【点评】本题考查的知识点是反函数及对数函数的图象，其中根据已知函数的解析式，求出当x＞0时，其反函数的解析式及定义域是解答本题的关键．

8．（5分）数列{a_n}的首项为3，{b_n}为等差数列且b_n=a_n₊₁﹣a_n（n∈N^*），若b₃=﹣2，b₁₀=12，则a₈=（　　）

A．0B．3 C．8 D．11

【专题】11：计算题．

【分析】先利用等差数列的通项公式分别表示出b₃和b₁₀，联立方程求得b₁和d，进而利用叠加法求得b₁+b₂+…+b_n=a_n₊₁﹣a₁，最后利用等差数列的求和公式求得答案．

【解答】解：依题意可知求得b₁=﹣6，d=2

∵b_n=a_n₊₁﹣a_n，

∴b₁+b₂+…+b_n=a_n₊₁﹣a₁，

∴a₈=b₁+b₂+…+b₇+3=+3=3

故选：B．

【点评】本题主要考查了数列的递推式．考查了考生对数列基础知识的熟练掌握．

A．4650元B．4700元 C．4900元 D．5000元

【专题】11：计算题；31：数形结合．

【分析】我们设派x辆甲卡车，y辆乙卡车，利润为z，根据题意中运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；每送一次可得利润350元，我们易构造出x，y满足的约束条件，及目标函数，画出满足条件的平面区域，利用角点法即可得到答案．

【解答】解：设派x辆甲卡车，y辆乙卡车，利润为z，

由题意得：z=450x+350y

由题意得x，y满足下列条件：

上述条件作出可行域，如图所示：

由图可知，当x=7，y=5时，450x+350y有最大值4900

故选：C．

【点评】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．

A．（﹣2，﹣9）B．（0，﹣5） C．（2，﹣9） D．（1，6）

【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】求出两个点的坐标，利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出a，求出抛物线的顶点坐标．

【解答】解：两点坐标为（﹣4，11﹣4a）；（2，2a﹣1），

两点连线的斜率k=，

对于y=x²+ax﹣5，

y′=2x+a，

∴2x+a=a﹣2解得x=﹣1，

在抛物线上的切点为（﹣1，﹣a﹣4），

切线方程为（a﹣2）x﹣y﹣6=0，

该切线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径，

解得a=4或0（0舍去），

抛物线方程为y=x²+4x﹣5顶点坐标为（﹣2，﹣9）．

故选：A．

【点评】本题考查两点连线的斜率公式、考查导数在切点处的值为切线的斜率、考查直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径．

A．3B． C．2 D．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】由题意可知，函数f（x）按照2单位向右平移，只是改变函数的最大值，求出a₁，公比，推出a_n，然后求出S_n，即可求出极限．

【解答】解：因为f（x）=3f（x+2），所以f（x+2）=f（x），就是函数向右平移2个单位，最大值变为原来的，a₁=f（1）=1，q=，

所以a_n=，S_n=，==

故选：D．

【点评】本题是中档题，考查函数与数列以及数列的极限的交汇题目，注意函数的图象的平移，改变的是函数的最大值，就是数列的公比，考查计算能力，发现问题解决问题的能力．

A．B． C． D．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】本题是一个等可能事件的概率，a的取法有2种，b的取法有3种，故向量=（a，b）有6个，从中任取两个向量共C₆²=15中取法，平行四边形的面积超过4的由列举法列出，得到结果．

【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，

试验发生包含的事件是从数字中选出两个数字，组成向量，

a的取法有2种，b的取法有3种，故向量=（a，b）有6个，

从中任取两个向量共C₆²=15种结果，

满足条件的事件是平行四边形的面积不超过4的由列举法列出共有5个，

根据等可能事件的概率得到P==

故选：B．

【点评】本题考查等可能事件的概率，考查组合数的应用，考查用列举法列举法求计数问题，本题是一个综合题目．

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13．（4分）计算÷=　﹣20　．

【专题】11：计算题．

【分析】利用对数的商的运算法则及幂的运算法则求出值．

【解答】解：

=lg

=﹣20

故答案为：﹣20

【点评】本题考查对数的四则运算法则、考查分数指数幂的运算法则．

14．（4分）双曲线﹣=1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是　16　．

【专题】11：计算题．

【分析】利用双曲线的方程求出参数a，b，c；求出准线方程，离心率的值；利用双曲线的第二定义求出点P的横坐标；求出P到左准线的距离．

【解答】解：由双曲线的方程知a=8，b=6

所以c=10

准线方程为x=；离心率e=

设点P到右准线的距离为d则由双曲线定义得

即d=

设P（x，y）则d=|=

所以x=

所以点P到左准线的距离是

故答案为16

【点评】本题考查由双曲线的方程得到三个参数值注意最大的参数是c、考查双曲线的准线方程与离心率、考查双曲线的第二定义、利用第二定义解决双曲线上的点到焦点距离的有关问题．

15．（4分）如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是　2πR²　．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】设出圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，求出圆柱的侧面积表达式，求出最大值，计算球的表面积，即可得到两者的差值．

【解答】解：设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，则r=Rcosα，圆柱的高为2Rsinα，圆柱的侧面积为：2πR²sin2α，当且仅当α=时，sin2α=1，圆柱的侧面积最大，圆柱的侧面积为：2πR²，球的表面积为：4πR²，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是：2πR²．

故答案为：2πR²

【点评】本题是基础题，考查球的内接圆柱的知识，球的表面积，圆柱的侧面积的最大值的求法，考查计算能力，常考题型．

①函数f（x）=x²（x∈R）是单函数；

②若f（x）为单函数，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；

③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；

④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．

其中的真命题是　②③　．（写出所有真命题的编号）

【专题】16：压轴题；23：新定义．

【分析】根据单函数的定义f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，可知函数f（x）则对于任意b∈B，它至多有一个原象，而①④f（﹣1）=f（1），显然﹣1≠1，可知它不是单函数，②③都是，可得结果．

【解答】解：∵若x₁，x₂∈A，且f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为单函数

∴①函数f（x）=x²不是单函数，

∵f（﹣1）=f（1），显然﹣1≠1，

∴函数f（x）=x²（x∈R）不是单函数；

②∵函数f（x）=2^x（x∈R）是增函数，

∴f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，

即②正确；

③∵f（x）为单函数，对于任意b∈B，

若∃x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）=b，

则x₁=x₂，与x₁≠x₂矛盾

∴③正确；

④例如①函数f（x）=x²在（0，+∞）上是增函数，而它不是单函数；故④不正确．

故答案为：②③．

【点评】此题是个基础题．考查学生分析解决问题的能力，以及知识方法的迁移能力．

三、解答题（共6小题，满分74分）

17．（12分）已知函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣），x∈R

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最小值；

（Ⅱ）已知cos（β﹣α）=，cos（β+α）=﹣.0＜α＜β，求证：[f（β）]²﹣2=0．

【专题】11：计算题；15：综合题．

【分析】（Ⅰ）利用诱导公式对函数解析式化简整理，进而根据三角函数的周期性和值域求解．

（Ⅱ）利用两角和公式把已知条件展开后相加，求得β的值，代入函数解析式中求得答案．

【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）=sin（x﹣）+sin（x﹣）=2sin（x﹣）

∴T=2π，最小值为﹣2

（Ⅱ）∵cos（β﹣α）=cosβcosα+sinβsinα=，cos（β+α）=cosβcosα﹣sinβsinα=﹣，

两式相加得2cosβcosα=0，

∵0＜α＜β，

∴β=

∴[f（β）]²﹣2=4sin²﹣2=0

【点评】本题主要考查了两角和公式和诱导公式的化简求值．考查了考生基础知识的综合运用．

（Ⅰ）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率．

（Ⅱ）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

【专题】11：计算题；12：应用题．

【分析】（Ⅰ）首先求出两个人租车时间超过三小时的概率，甲乙两人所付的租车费用相同即租车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时三类求解即可．

（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8，由独立事件的概率分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．

【解答】解：（Ⅰ）甲乙两人租车时间超过三小时的概率分别为：，

甲乙两人所付的租车费用相同的概率p=

（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8

P（ξ=0）==

P（ξ=2）==

P（ξ=4）==

P（ξ=6）==

P（ξ=8）==

分布列：

ξ	0	2	4	6	8
P

数学期望Eξ==

【点评】本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用所学知识解决问题的能力．

19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，D是棱CC₁上的一点，P是AD的延长线与A₁C₁的延长线的交点，且PB₁∥平面BDA₁

（Ⅰ）求证：CD=C₁D；

（Ⅱ）求二面角A﹣A₁D﹣B的平面角的余弦值；

（Ⅲ）求点C到平面B₁DP的距离．

【专题】11：计算题；14：证明题．

【分析】（I）°由题意及图形建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用AC∥PC₁，建立点D的汗有未知数x的坐标，利用PB₁∥平面BDA₁建立x的方程，解出即证出所求；

（II）由题意及（I）所建立的坐标系，利用平面法向量与二面角的大小之间的关系求出二面角的大小；

（III）利用空间向量中求点到平面的距离公式直接求出点到平面的距离．

【解答】解：（I）由题意作出如下图形并建立图示的空间直角坐标系：

以A₁点为原点，A₁B₁，A₁C₁，A₁A所在的直线分别为x，y，z轴，

建立图示的空间直角坐标系，则A₁（0，0，0）B₁（1，0，0）C₁（0，1，0）B（1，0，1）

（I）设C₁D=x，

∵AC∥PC₁

∴

可设D（0，1，x），

∴=（0，1，x），

设平面BA₁D的一个法向量为=（a，b，c），

则⇒ 令a=1，则=（1，x，﹣1）∵PB₁∥平面BA₁D

∴0=0⇒x=；

故CD=C₁D．

（II）由（I）知，平面BA₁D的一个法向量为

又=（1，0，0）为平面AA₁D的一个法向量，∴cos＜．

故二面角A﹣A₁D﹣B的平面角的余弦值为．

（III）∵

设平面B₁DP的一个法向量为=（x，y，z），

则⇒

令z=1，∴

又∴C到平面B₁PD的距离d=．

【点评】此题重点考查了利用空间向量的方法求点到平面的距离和二面角的大小，还考查了利用方程的思想求解坐标中所设的变量的大小．

20．（12分）设d为非零实数，

（Ⅰ）写出a₁，a₂，a₃并判断﹛a_n﹜是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；

（Ⅱ）设b_n=nda_n（n∈N*），求数列﹛b_n﹜的前n项和S_n．

【专题】11：计算题；15：综合题．

【分析】本题考查的是数列求和问题，在解答时：

（Ⅰ）根据条件直接代入n值计算即可获得a₁、a₂、a₃的值．然后利用，当n≥2，k≥1时，，对数列通向进行化简可得a_n=d（d+1）^n﹣1，进而分类讨论问题即可获得解答；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a_n=d（d+1）^n﹣1，进而可计算b_n，结合b_n的特点可利用成公比错位相减法进行求解，注意分类讨论即可获得问题的解答．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：a₁=d，a₂=d（1+d），a₃=d（1+d）²，

当n≥2，k≥1时，，

∴

=d（C_n﹣1⁰d⁰+C_n﹣1¹d¹+C_n﹣1²d²+…+C_n﹣1^n﹣1d^n﹣1）

=d（d+1）^n﹣1．

所以，当d≠﹣1时，{a_n}是以d为首项，d+1为公比的等比数列．

当d=﹣1时，a₁=﹣1，a_n=0（n≥2），此时{a_n}不是等比数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a_n=d（d+1）^n﹣1，

∴b_n=nd²（d+1）^n﹣1=d²n（d+1）^n﹣1，

∴S_n=d²[1•（d+1）⁰+2•（d+1）¹+3•（d+1）²+…+（n﹣1）•（d+1）^n﹣2+n•（d+1）^n﹣1]，

当d=﹣1时，S_n=d²=1

当d≠﹣1时，

（d+1）S_n=d²[1•（d+1）¹+2•（d+1）²+3•（d+1）³+…+（n﹣1）•（d+1）^n﹣1+n•（d+1）ⁿ]，

∴﹣dS_n=d²[1+（d+1）+（d+1）²+（d+1）³+…+（d+1）^n﹣1﹣n（d+1）ⁿ]，

∴S_n=（d+1）ⁿ（nd﹣1）+1．

综上可知：S_n=（d+1）ⁿ（nd﹣1）+1，n∈N*．

【点评】本题考查的是数列求和问题，在解答的过程当中充分体现了同学们的运算能力、数据处理能力、分类讨论的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．

21．（12分）椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．

（Ⅰ）当|CD|=时，求直线l的方程；

（Ⅱ）当点P异于A、B两点时，求证：为定值．

【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题；31：数形结合；32：分类讨论；34：方程思想．

【分析】（Ⅰ）根据椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），焦点F（0，1），可知椭圆的焦点在y轴上，b=1，c=1，可以求得椭圆的方程，联立直线和椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可求出直线l的方程；

（Ⅱ）根据过其焦点F（0，1）的直线l的方程可求出点P的坐标，该直线与椭圆交于C、D两点，和直线AC与直线BD交于点Q，求出直线AC与直线BD的方程，解该方程组即可求得点Q的坐标，代入即可证明结论．

【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），

由已知得b=1，c=1，所以a=，

椭圆的方程为，

当直线l与x轴垂直时与题意不符，

设直线l的方程为y=kx+1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），

将直线l的方程代入椭圆的方程化简得（k²+2）x²+2kx﹣1=0，

则x₁+x₂=﹣，x₁•x₂=﹣，

∴|CD|==

==，

解得k=．

∴直线l的方程为y=x+1；

（Ⅱ）证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符，

设直线l的方程为y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），

∴P点的坐标为（﹣，0），

由（Ⅰ）知x₁+x₂=﹣，x₁•x₂=﹣，

且直线AC的方程为y=，且直线BD的方程为y=，

将两直线联立，消去y得，

∵﹣1＜x₁，x₂＜1，∴与异号，

=，

y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1==﹣，

∴与y₁y₂异号，与同号，

∴=，解得x=﹣k，

故Q点坐标为（﹣k，y₀），

=（﹣，0）•（﹣k，y₀）=1，

故为定值．

【点评】此题是个难题．本题考查了椭圆的标准方程和简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．体现了分类讨论和数形结合的思想．

22．（14分）已知函数f（x）=x+，h（x）=．

（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）﹣h（x），求F（x）的单调区间与极值；

（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程log₄[f（x﹣1）﹣]=log₂h（a﹣x）﹣log₂h（4﹣x）；

（Ⅲ）试比较f（100）h（100）﹣与的大小．

【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合；32：分类讨论．

【分析】（Ⅰ）先求导函数，利用导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．即可求F（x）的单调区间与极值；

（Ⅱ）先把原等式转化为关于a和x之间的等量关系，最后利用图象来求x的值（注意对a的讨论）．

（Ⅲ）把f（100）h（100）﹣转化为一新数列{a_n}的前100项和，再比较新数列{a_n}的每一项和对应h（x）=之间的大小关系，即可比较f（100）h（100）﹣与的大小．

【解答】解：（Ⅰ）由F（x）=f（x）﹣h（x）=x+﹣（x≥0）知，

F′（x）=，令F′（x）=0，得x=．

当x∈（0，）时，F′（x）＜0；

当x∈（，+∞）时，F′（x）＞0．

故x∈（0，）时，F（x）是减函数；

故x∈（，+∞）时，F（x）是增函数．

F（x）在x=处有极小值且F（）=．

（Ⅱ）原方程可化为log₄（x﹣1）+log₂h（4﹣x）=log₂h（a﹣x），

即log₂（x﹣1）+log₂=log₂，⇔⇔

①当1＜a≤4时，原方程有一解x=3﹣；

②当4＜a＜5时，原方程有两解x=3；

③当a=5时，原方程有一解x=3；

④当a≤1或a＞5时，原方程无解．

（Ⅲ）设数列 {a_n}的前n项和为s_n，且s_n=f（n）g（n）﹣

从而有a₁=s₁=1．

当2＜k≤100时，

a_k=s_k﹣s_k﹣1=，a_k﹣

=[（4k﹣3）﹣（4k﹣1）]

=＞0．

即对任意的2＜k≤100，都有a_k＞．

又因为a₁=s₁=1，

所以a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀＞=h（1）+h（2）+…+h（100）．

故f（100）h（100）﹣＞．

【点评】题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系以及函数极值的求法和函数与数列的综合应用问题．在解题过程中，用到了分类讨论思想和数形结合思想，是一道综合性很强的好题．

来源：四川省地方志工作办公室

终审：何晓波

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