2016年四川省高考数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．（5分）设i为虚数单位，则复数（1+i）²=（　　）

A．0B．2 C．2i D．2+2i 

2．（5分）设集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（　　）

A．6B．5 C．4 D．3 

3．（5分）抛物线y²=4x的焦点坐标是（　　）

A．（0，2）B．（0，1） C．（2，0） D．（1，0） 

4．（5分）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（　　）

A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度 

C．向上平行移动个单位长度D．向下平行移动个单位长度 

5．（5分）设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件 

C．充要条件D．既不充分也不必要条件 

6．（5分）已知a为函数f（x）=x³﹣12x的极小值点，则a=（　　）

A．﹣4B．﹣2 C．4 D．2 

7．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（　　）

（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）

A．2018年B．2019年 C．2020年 D．2021年 

8．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（　　）

A．35B．20 C．18 D．9 

9．（5分）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||²的最大值是（　　）

A．B． C． D． 

10．（5分）设直线l₁，l₂分别是函数f（x）=图象上点P₁，P₂处的切线，l₁与l₂垂直相交于点P，且l₁，l₂分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（　　）

A．（0，1）B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞） 

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．（5分）sin750°=　   　．

12．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是　   　．

13．（5分）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则log_ab为整数的概率是　   　．

14．（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4^x，则f（﹣）+f（2）=　   　．

15．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，），当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：

①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A．

‚②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．

ƒ③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称

④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．

其中的真命题是　   　．

三、解答题（共6小题，满分75分）

16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）求直方图中a的值；

（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．

17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．

（Ⅰ）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；

（Ⅱ）证明：平面PAB⊥平面PBD．

18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．

（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；

（Ⅱ）若b²+c²﹣a²=bc，求tanB．

19．（12分）已知数列{a_n}的首项为1，S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n+1=qS_n+1，其中q＞0，n∈N⁺

（Ⅰ）若a₂，a₃，a₂+a₃成等差数列，求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设双曲线x²﹣=1的离心率为e_n，且e₂=2，求e₁²+e₂²+…+e_n²．

20．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|•|MB|=|MC|•|MD|

21．（14分）设函数f（x）=ax²﹣a﹣lnx，g（x）=﹣，其中a∈R，e=2.718^…为自然对数的底数．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）证明：当x＞1时，g（x）＞0；

（3）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．

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2016年四川省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．（5分）设i为虚数单位，则复数（1+i）²=（　　）

A．0B．2 C．2i D．2+2i 

【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数．

【分析】利用复数的运算法则即可得出．

【解答】解：（1+i）²=1+i²+2i=1﹣1+2i=2i，

故选：C．

【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

2．（5分）设集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（　　）

A．6B．5 C．4 D．3 

【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；59：不等式的解法及应用；5J：集合．

【分析】利用交集的运算性质即可得出．

【解答】解：∵集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，

则集合A∩Z={1，2，3，4，5}．

∴集合A∩Z中元素的个数是5．

故选：B．

【点评】本题考查了集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．（5分）抛物线y²=4x的焦点坐标是（　　）

A．（0，2）B．（0，1） C．（2，0） D．（1，0） 

【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质，可得答案．

【解答】解：抛物线y²=4x的焦点坐标是（1，0），

故选：D．

【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题．

4．（5分）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（　　）

A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度 

C．向上平行移动个单位长度D．向下平行移动个单位长度 

【考点】3A：函数的图象与图象的变换；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有

【专题】4A：数学模型法；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质．

【分析】根据函数图象平移“左加右减“的原则，结合平移前后函数的解析式，可得答案．

【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx，

平移后函数解析式为：y=sin（x+），

可得平移量为向左平行移动个单位长度，

故选：A．

【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则，熟练掌握图象平移“左加右减“的原则，是解答的关键．

5．（5分）设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件 

C．充要条件D．既不充分也不必要条件 

【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．

【分析】由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立，例如取x=3，y=．

【解答】解：由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立：例如取x=3，y=．

∴p是q的充分不必要条件．

故选：A．

【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

6．（5分）已知a为函数f（x）=x³﹣12x的极小值点，则a=（　　）

A．﹣4B．﹣2 C．4 D．2 

【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；53：导数的综合应用．

【分析】可求导数得到f′（x）=3x²﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值．

【解答】解：f′（x）=3x²﹣12；

∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；

∴x=2是f（x）的极小值点；

又a为f（x）的极小值点；

∴a=2．

故选：D．

【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．

7．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（　　）

（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）

A．2018年B．2019年 C．2020年 D．2021年 

【考点】88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用．

【分析】设第n年开始超过200万元，可得130×（1+12%）^n﹣2015＞200，两边取对数即可得出．

【解答】解：设第n年开始超过200万元，

则130×（1+12%）^n﹣2015＞200，

化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，

n﹣2015＞=3.8．

取n=2019．

因此开始超过200万元的年份是2019年．

故选：B．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（　　）

A．35B．20 C．18 D．9 

【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．

【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．

【解答】解：∵输入的x=2，n=3，

故v=1，i=2，满足进行循环的条件，v=4，i=1，

满足进行循环的条件，v=9，i=0，

满足进行循环的条件，v=18，i=﹣1

不满足进行循环的条件，

故输出的v值为：

故选：C．

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．

9．（5分）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||²的最大值是（　　）

A．B． C． D． 

【考点】91：向量的概念与向量的模．菁优网版权所有

【专题】31：数形结合；35：转化思想；56：三角函数的求值；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆．

【分析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，可得M，代入||²=+3sin，即可得出．

【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．

B（0，0），C．

A．

∵M满足||=1，

∴点P的轨迹方程为：=1，

令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．

又=，则M，

∴||²=+=+3sin≤．

∴||²的最大值是．

也可以以点A为坐标原点建立坐标系．

解法二：取AC中点N，MN=，从而M轨迹为以N为圆心，为半径的圆，B，N，M三点共线时，BM为最大值．所以BM最大值为3+=．

故选：B．

【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

10．（5分）设直线l₁，l₂分别是函数f（x）=图象上点P₁，P₂处的切线，l₁与l₂垂直相交于点P，且l₁，l₂分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（　　）

A．（0，1）B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞） 

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有

【专题】15：综合题；33：函数思想；49：综合法；53：导数的综合应用．

【分析】设出点P₁，P₂的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l₁与l₂的斜率，由两直线垂直求得P₁，P₂的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．

【解答】解：设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）（0＜x₁＜1＜x₂），

当0＜x＜1时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）=，

∴l₁的斜率，l₂的斜率，

∵l₁与l₂垂直，且x₂＞x₁＞0，

∴，即x₁x₂=1．

直线l₁：，l₂：．

取x=0分别得到A（0，1﹣lnx₁），B（0，﹣1+lnx₂），

|AB|=|1﹣lnx₁﹣（﹣1+lnx₂）|=|2﹣（lnx₁+lnx₂）|=|2﹣lnx₁x₂|=2．

联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，

∴|AB|•|x_P|==．

∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x₁＜1，

∴，则，

∴．

∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．

故选：A．

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．（5分）sin750°=　　．

【考点】GO：运用诱导公式化简求值．菁优网版权所有

【专题】56：三角函数的求值．

【分析】利用终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值即可得答案．

【解答】解：sin750°=sin（2×360°+30°）=sin30°=，

故答案为：．

【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题．

12．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是　　．

【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．

【分析】几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，棱锥的高为1，代入体积公式计算即可．

【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，底面积S==，棱锥的高为h=1，

∴棱锥的体积V=Sh==．

故答案为：．

【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，是基础题．

13．（5分）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则log_ab为整数的概率是　　．

【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．

【分析】由已知条件先求出基本事件总数，再利用列举法求出log_ab为整数满足的基本事件个数，由此能求出log_ab为整数的概率．

【解答】解：从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，

基本事件总数n==12，

log_ab为整数满足的基本事件个数为（2，8），（3，9），共2个，

∴log_ab为整数的概率p=．

故答案为：．

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．

14．（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4^x，则f（﹣）+f（2）=　﹣2　．

【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3T：函数的值．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．

【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可．

【解答】解：∵函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4^x，

∴f（2）=f（0）=0，

f（﹣）=f（﹣+2）=f（﹣）=﹣f（）=﹣=﹣=﹣2，

则f（﹣）+f（2）=﹣2+0=﹣2，

故答案为：﹣2．

【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键．

15．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，），当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：

①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A．

‚②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．

ƒ③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称

④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．

其中的真命题是　②③　．

【考点】2K：命题的真假判断与应用．菁优网版权所有

【专题】23：新定义；36：整体思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．

【分析】根据“伴随点”的定义，分别进行判断即可，对应不成立的命题，利用特殊值法进行排除即可．

【解答】解：①设A（0，1），则A的“伴随点”为A′（1，0），

而A′（1，0）的“伴随点”为（0，﹣1），不是A，故①错误，

②若点在单位圆上，则x²+y²=1，

即P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P（y，﹣x），

满足y²+（﹣x）²=1，即P′也在单位圆上，故②正确，

③若两点关于x轴对称，设P（x，y），对称点为Q（x，﹣y），

则Q（x，﹣y）的“伴随点”为Q′（﹣，），

则Q′（﹣，）与P′（，）关于y轴对称，故③正确，

④∵（﹣1，1），（0，1），（1，1）三点在直线y=1上，

∴（﹣1，1）的“伴随点”为（，），即（，），

（0，1）的“伴随点”为（1，0），（1，1的“伴随点”为（，﹣），即（，﹣），

则（，），（1，0），（，﹣）三点不在同一直线上，故④错误，

故答案为：②③

【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确理解“伴随点”的定义是解决本题的关键．考查学生的推理能力．

三、解答题（共6小题，满分75分）

16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）求直方图中a的值；

（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．

【考点】B8：频率分布直方图；BB：众数、中位数、平均数．菁优网版权所有

【专题】38：对应思想；49：综合法；5I：概率与统计．

【分析】（I）先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率，再根据直方图的总频率为1求出a的值；

（II）根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率，结合样本容量为30万，进而得解．

（Ⅲ）根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值．

【解答】解：（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，

整理可得：2=1.4+2a，

∴解得：a=0.3．

（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：

由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，

又样本容量为30万，

则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．

（Ⅲ）根据频率分布直方图，得；

0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48＜0.5，

0.48+0.5×0.52=0.74＞0.5，

∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x，

令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.52×x=0.5，

解得x=0.04；

∴中位数是2+0.04=2.04．

【点评】本题用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．

17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．

（Ⅰ）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；

（Ⅱ）证明：平面PAB⊥平面PBD．

【考点】LS：直线与平面平行；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有

【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．

【分析】（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，证明平面CME∥平面PAB，即可证明直线CM∥平面PAB；

（II）证明：BD⊥平面PAB，即可证明平面PAB⊥平面PBD．

【解答】证明：（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．

取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，

∵ME⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，

∴ME∥平面PAB．

∵AD∥BC，BC=AE，

∴ABCE是平行四边形，

∴CE∥AB．

∵CE⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，

∴CE∥平面PAB．

∵ME∩CE=E，

∴平面CME∥平面PAB，

∵CM⊂平面CME，

∴CM∥平面PAB

若M为AD的中点，连接CM，

由四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．

可得四边形ABCM为平行四边形，即有CM∥AB，

CM⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，

∴CM∥平面PAB；

（II）∵PA⊥CD，∠PAB=90°，AB与CD相交，

∴PA⊥平面ABCD，

∵BD⊂平面ABCD，

∴PA⊥BD，

由（I）及BC=CD=AD，可得∠BAD=∠BDA=45°，

∴∠ABD=90°，∴BD⊥AB，

∵PA∩AB=A，

∴BD⊥平面PAB，

∵BD⊂平面PBD，

∴平面PAB⊥平面PBD．

【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．

18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．

（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；

（Ⅱ）若b²+c²﹣a²=bc，求tanB．

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；58：解三角形．

【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．

（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可．

【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，

∴由正弦定理得：，

∴=，

∵sin（A+B）=sinC．

∴整理可得：sinAsinB=sinC，

（Ⅱ）解：b²+c²﹣a²=bc，由余弦定理可得cosA=．

sinA=，=

+==1，=，

tanB=4．

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．

19．（12分）已知数列{a_n}的首项为1，S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n+1=qS_n+1，其中q＞0，n∈N⁺

（Ⅰ）若a₂，a₃，a₂+a₃成等差数列，求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设双曲线x²﹣=1的离心率为e_n，且e₂=2，求e₁²+e₂²+…+e_n²．

【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．

【分析】（Ⅰ）根据题意，由数列的递推公式可得a₂与a₃的值，又由a₂，a₃，a₂+a₃成等差数列，可得2a₃=a₂+（a₂+a₃），代入a₂与a₃的值可得q²=2q，解可得q的值，进而可得S_n+1=2S_n+1，进而可得S_n=2S_n﹣1+1，将两式相减可得a_n=2a_n﹣1，即可得数列{a_n}是以1为首项，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案；

（Ⅱ）根据题意S_n+1=qS_n+1，同理有S_n=qS_n﹣1+1，将两式相减可得a_n=qa_n﹣1，分析可得a_n=q^n﹣1；又由双曲线x²﹣=1的离心率为e_n，且e₂=2，分析可得e₂==2，

解可得a₂的值，由a_n=q^n﹣1可得q的值，进而可得数列{a_n}的通项公式，再次由双曲线的几何性质可得e_n²=1+a_n²=1+3^n﹣1，运用分组求和法计算可得答案．

【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a_n}的首项为1，即a₁=1，

又由S_n+1=qS_n+1，则S₂=qa₁+1，则a₂=q，

又有S₃=qS₂+1，则有a₃=q²，

若a₂，a₃，a₂+a₃成等差数列，即2a₃=a₂+（a₂+a₃），

则可得q²=2q，（q＞0），

解可得q=2，

则有S_n+1=2S_n+1，①

进而有S_n=2S_n﹣1+1，②

①﹣②可得a_n=2a_n﹣1，

则数列{a_n}是以1为首项，公比为2的等比数列，

则a_n=1×2^n﹣1=2^n﹣1；

（Ⅱ）根据题意，有S_n+1=qS_n+1，③

同理可得S_n=qS_n﹣1+1，④

③﹣④可得：a_n=qa_n﹣1，

又由q＞0，

则数列{a_n}是以1为首项，公比为q的等比数列，则a_n=1×q^n﹣1=q^n﹣1；

若e₂=2，则e₂==2，

解可得a₂=，

则a₂=q=，即q=，

a_n=1×q^n﹣1=q^n﹣1=（）^n﹣1，

则e_n²=1+a_n²=1+3^n﹣1，

故e₁²+e₂²+…+e_n²=n+（1+3+3²+…+3^n﹣1）=n+．

【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中q＞0这一条件．

20．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|•|MB|=|MC|•|MD|

【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有

【专题】15：综合题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2b，再把已知点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b得答案；

（Ⅱ）设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长及AB中点坐标，得到OM所在直线方程，再与椭圆方程联立，求出C，D的坐标，把|MA|•|MB|化为（|AB|）²，再由两点间的距离公式求得|MC|•|MD|的值得答案．

【解答】（Ⅰ）解：如图，

由题意可得，解得a²=4，b²=1，

∴椭圆E的方程为；

（Ⅱ）证明：设AB所在直线方程为y=，

联立，得x²+2mx+2m²﹣2=0．

∴△=4m²﹣4（2m²﹣2）=8﹣4m²＞0，即．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），

则，

|AB|==．

∴x₀=﹣m，，即M（），

则OM所在直线方程为y=﹣，

联立，得或．

∴C（﹣，），D（，﹣）．

则|MC|•|MD|=

==．

而|MA|•|MB|=（10﹣5m²）=．

∴|MA|•|MB|=|MC|•|MD|．

【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了弦长公式的应用，考查数学转化思想方法，训练了计算能力，是中档题．

21．（14分）设函数f（x）=ax²﹣a﹣lnx，g（x）=﹣，其中a∈R，e=2.718^…为自然对数的底数．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）证明：当x＞1时，g（x）＞0；

（3）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．

【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有

【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．

【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，即可讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）要证g（x）＞0（x＞1），即﹣＞0，即证，也就是证；

（Ⅲ）由f（x）＞g（x），得，设t（x）=，由题意知，t（x）＞0在（1，+∞）内恒成立，再构造函数，求导数，即可确定a的取值范围．

【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=ax²﹣a﹣lnx，得f′（x）=2ax﹣=（x＞0），

当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）成立，则f（x）为（0，+∞）上的减函数；

当a＞0时，由f′（x）=0，得x==，

∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，

则f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；

综上，当a≤0时，f（x）为（0，+∞）上的减函数，当a＞0时，f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；

（Ⅱ）证明：要证g（x）＞0（x＞1），即﹣＞0，

即证，也就是证，

令h（x）=，则h′（x）=，

∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，则h（x）_min=h（1）=e，

即当x＞1时，h（x）＞e，∴当x＞1时，g（x）＞0；

（Ⅲ）解：由f（x）＞g（x），得，

设t（x）=，

由题意知，t（x）＞0在（1，+∞）内恒成立，

∵t（1）=0，

∴有t′（x）=2ax=≥0在（1，+∞）内恒成立，

令φ（x）=，

则φ′（x）=2a=，

当x≥2时，φ′（x）＞0，

令h（x）=，h′（x）=，函数在[1，2）上单调递增，

∴h（x）_min=h（1）=﹣1．

e^1﹣x＞0，∴1＜x＜2，φ′（x）＞0，

综上所述，x＞1，φ′（x）＞0，φ（x）在区间（1，+∞）单调递增，

∴t′（x）＞t′（1）≥0，即t（x）在区间（1，+∞）单调递增，

由2a﹣1≥0，

∴a≥．

【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，不等式的证明，考查恒成立成立问题，正确构造函数，求导数是关键．